Lucas定理应用分析——大组合数取模

最新推荐文章于 2025-06-25 13:42:59 发布
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本文介绍了Lucas定理在计算组合数C(n, m) mod p时的作用，特别是当p为素数时。通过将组合数分解为p进制的子问题，并利用逆元和费马小定理避免溢出，解决了大数情况下组合数取模的计算。举例说明了如何解决HDU3037和FZU2020这两道编程题，其中涉及将未放置的种子视为额外的树以及对大数阶乘的处理。" 100546162,8653480,Spring Cloud服务隔离与实例定向解决方案,"['Spring Cloud', '微服务架构', '后端开发', '服务注册与发现', '负载均衡']

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    首先给出Lucas（卢卡斯）定理：

    有非负整数A、B，和素数p，A、B写成p进制为：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。

则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])×C(a[n-1],b[n-1])×...×C(a[0],b[0]) mod p同余。

即：Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)×Lucas(n/p,m/p,p) ，特别的，Lucas（x，0，p）=1。

    其实说白了，Lucas定理就是求组合数C（n，m）mod p（p是素数）的值，即(（ n! /(n-m)!）/m! )mod p，而我们

又知道(a/b)mod p=a*b^(p-2)mod p（这里用到了一点逆元和费马小定理的知识），这样我们就可以在计算阶乘的过程

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【算法】扩展卢卡斯详解
Fighter的博客
04-01 2240
前置芝士 扩展卢卡斯相对较为复杂，需要较多的前置芝士。 快速幂 质因数分解 组合数公式 扩展欧几里得(exgcd)求逆元 中国剩余定理（或excrt） 熟练阅读Latex 至于卢卡斯定理，那真的不重要。 问题形式 卢卡斯(LucasLucasLucas)和扩展卢卡斯(exLucasexLucasexLucas)都用于求解形如Cnmmod &ThinSpace...
Lucas定理（求组合数，例题FZU2020，HDU3944）
Radium_1209
08-25 640
Lucas定理：用于求C(n,m) mod p，其中p为素数 证明等在网上都可以找到，我也不是很懂就略过了（懂了补上）。 直接贴出用法吧： 主要代码就两行，需要用到的知识有快速幂和求逆元（计算组合数），必要的时候需要打表（计算阶乘） 快速幂：https://blog.youkuaiyun.com/Radium_1209/article/details/79718918 核心代码：   ll lu...
信息学-卢卡斯定理
最新发布
weixin_44320104的博客
06-25 712
本文介绍了卢卡斯定理及其在组合数取模运算中的应用。
组合数（卢卡斯定理）
★探梦少年☆的博客
02-24 5301
组合数 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。 公式：C(n,m)=n!/((n-m)!*m!)（m≤n） 性质1：C(n,m)= C(n,n-m) 性质2：C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m) 定义 组合是数学...
Lucas定理推广（组合数取模）
guanhuaing
08-20 551
Lucas定理推广（组合数取模） 2011年4月21日Earthson3 条评论 比赛的时候，意外想到了个方法来处理组合数取模。一推，发现就是Lucas定理，并且，在模数是素数乘方的情况作了些推广。使得lucas能够处理模任意数的组合数取模。 Lucas定理 首先给出Lucas定理的递归描述 简要证明思路： 考虑连续的p...
组合数求解（Lucas定理）
weixin_40895249的博客
05-11 374
组合数求解 方法一 直接递推求组合数。 公式： C(a, b) = C(a-1, b) + C(a-1, b-1) 预处理所有的C(a, b) #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; //C(a, b) 组合数 a!/ b!（a - b）！ //递推 const int MOD = 1e9 + 7 ; const int N = 2003; int c[N][N]; void predea
ACM基础模板（宏定义、快读快写、快速幂、gcd、组合数与Lucas定理）（csdn）————程序.pdf
12-01
当`a`和`b`小于模`p`时，可以直接使用组合数公式计算，否则递归应用Lucas定理。 以上就是这个ACM基础模板中涉及的主要编程技巧和算法，这些工具对于解决ACM竞赛中的问题至关重要，能够有效提升程序的运行效率和准确...
Lucas 定理学习笔记
weach的博客
08-19 519
Lucas 定理 Lucas 定理用于求解大组合数取模的问题，其中模数必须为素数。正常的组合数运算可以通过递推公式求解（详见排列组合），但当问题规模很大，而模数是一个不大的质数的时候，就不能简单地通过递推求解来得到答案，需要用到 Lucas 定理。 求解方式 Lucas 定理内容如下：对于质数 ppp，有 (nm) mod p=(⌊n/p⌋⌊m/p⌋)⋅(n mod pm mod p) mod p \binom{n}{m}\bmod p = \binom{\left\lfloor n/p \right\rf
组合数取模计算模板
...
02-04 841
1一般组合数计算 mod的要求：无 有效范围：1 ———————————————————————————————— //一般方法求C（n，m）最后取模。C(62,28)溢出。有效范围1<n,m<=60 ll CNormal(int n, int m) { if ( m>n ) return 0; ll ans = 1; for (int i=1; i<=m; i++) { an
算法基础课—数学知识（四）高斯消元、组合数
Yttttttttttttttt的博客
06-03 490
算法基础课—数学知识（四）高斯消元、组合数高斯消元——解方程组对于有解和无解的判断例子消元回代有无穷多个解的情况无解的情况算法思路题目代码模板自己的代码求组合数方法一模板自己的代码方法二题目模板代码方法三题目模板代码方法四题目模板自己的代码满足条件的01序列题目卡特兰数模板代码 高斯消元——解方程组 应用：在n的三次方时间内可以解n个方程组的解 方法：矩阵的行列变换 思想：先消元，再回代 最后可以把矩阵变成一个上三角的形式 对于有解和无解的判断 如果0=非零，说明矛盾，肯定无解 如果出现0=0，说明其中一
组合数在线
Gzbgreat的博客
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组合数在线
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weixin_34204722的博客
11-27 290
（1）Lucas定理：p为素数，则有: （2）证明：n=(ak...a2,a1,a0)p = (ak...a2,a1)p*p + a0= [n/p]*p+a0，m=[m/p]*p+b0其次，我们知道，对任意质数p有(1+x)^p=1+(x^p)(mod p) 。我们只要证明这个式子：C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)(mod p)，那么就可以用归纳...
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baodream的博客
05-03 1280
贴一份卢卡斯定理模板Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p，p为素数的值。//C(n,m)=n!/((n-m)!*m!) //性质1 C(n,m)= C(n,n-m);性质2 C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m) //卢卡斯定理：C(n, m) % p = C(n / p, m / p) * C(n%p, m%p) % p ll qpow(ll a,ll b,ll M...
lucas定理计算组合数
weixin_30505751的博客
05-06 175
lucas定理计算组合数 C(n,k)有多种解法，1，dp递推；2，直接计算；3，lucas定理 lucas定理适合组合数取余数的计算，n和k的范围可到10^18 注意p必须为素数 如果p(mod)较小还可以预处理1到p的阶乘，下面是用乘法逆元计算C(n%p,k%p)，关于乘法逆元，参考这篇博客：http://www.cnblogs.com/tiankonguse/archive/2012...
组合数取模方法总结（Lucas定理介绍）
刘二狗的博客
02-02 794
转自：https://www.cnblogs.com/fzl194/p/9095177.html 1.当n,m都很小的时候可以利用杨辉三角直接求。  C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)；   2、n和m较大，但是p为素数的时候 Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p，p为素数的值。 C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p   也就...
lucas求大组合数
weixin_45743707的博客
10-08 343
Lucas 定理 Lucas 定理用于求解大组合数取模的问题，其中 p 必须为素数。正常的组合数运算可以通过递推公式求解，但当问题规模很大，而模数是一个不大的质数的时候，就不能简单地通过递推求解来得到答案，需要用到 Lucas 定理。 代码实现 long long Lucas(long long n, long long m, long long p) { if (m == 0) return 1; return (C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p,
卢卡斯定理（单独求大组合数小模数）
weixin_30718391的博客
10-08 155
见这里orz 此外C(m,n)=C(m-1,n)*(n-m+1)/m在m限定小的时候也是可以试试的。。 转载于:https://www.cnblogs.com/Drenight/p/8611234.html...
卢卡斯定理求组合数（逆元+费马小定理+扩展欧几里得）
youcaishen的博客
01-24 725
用卢卡斯定理求组合数取模
Lucas定理（大组合数取模）
silence401的博客
10-20 345
Polla My code blog。。 数论——Lucas定理模板 Formulation For non-negative integers m and n and a prime p, the following congruence relation holds: where and are the base p e
数论应用：组合数计算与Lucas定理解析
本文主要介绍了数论中的几个关键概念，包括组合数的计算、Lucas定理以及线性求逆元算法。这些是计算机科学，尤其是算法和密码学中的基础数学工具。 组合数，又称二项式系数，表示在n个不同元素中选择m个的方法数。...
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