快速数论变换（NTT）

FFT的复数精度问题让我很不爽，算法导论上确实提了一下可以用数论的方法实现傅立叶变换，可是我一直不知道怎么搞，现在终于找到了质料

以下内容转自ACdreamers （http://blog.youkuaiyun.com/acdreamers/article/details/39026505）

在上一篇文章中 http://blog.youkuaiyun.com/acdreamers/article/details/39005227 介绍了用快速傅里叶变

换来求多项式的乘法。可以发现它是利用了单位复根的特殊性质，大大减少了运算，但是这种做法是对复数系数的矩阵

加以处理，每个复数系数的实部和虚部是一个正弦及余弦函数，因此大部分系数都是浮点数，我们必须做复数及浮点数

的计算，计算量会比较大，而且浮点数的计算可能会导致误差增大。

 

今天，我将来介绍另一种计算多项式乘法的算法，叫做快速数论变换（NTT），在离散正交变换的理论中，已经证明在

复数域内，具有循环卷积特性的唯一变换是DFT，所以在复数域中不存在具有循环卷积性质的更简单的离散正交变换。

因此提出了以数论为基础的具有循环卷积性质的快速数论变换。

 

回忆复数向量，其离散傅里叶变换公式如下

 

   

 

离散傅里叶逆变换公式为

 

   

 

今天的快速数论变换（NTT）是在上进行的，在快速傅里叶变换（FFT）中，通过次单位复根来运算的，即满

足的，而对于快速数论变换来说，则是可以将看成是的等价，这里是模素数

的原根（由于是素数，那么原根一定存在）。即

 

        

 

所以综上，我们得到数论变换的公式如下

 

    

 

而数论变换的逆变换公式为

 

    

 

这样就把复数对应到一个整数，之后一切都是在系统内考虑。

 

上述数论变换（NTT）公式中，要求是素数且必须是的因子。由于经常是2的方幂，所以可以构造形

如的素数。通常来说可以选择为费马素数，这样的变换叫做费马数数论变换。

 

这里我们选择，，这样得到模的原根值为。

 

 

题目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1028

 

分析：题目意思就是大数相乘，此处用快速数论变换（NTT）实现。

 

代码：

[cpp]  view plain copy

1. #include <iostream>  
2. #include <string.h>  
3. #include <stdio.h>  
4.   
5. using namespace std;  
6. typedef long