快速数论变换_快速傅立叶变换（FFT）

最新推荐文章于 2024-08-17 21:49:10 发布
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_27918373/article/details/112511412
本文详细介绍了快速傅立叶变换（FFT）在优化多项式乘法中的应用。首先，定义了多项式及其系数表达和点值表达，接着探讨了DFT（离散傅立叶变换）及其逆变换，指出通过单位复数根可以加速转化过程。最后，提到了快速数论变换（NTT）作为FFT的一种优化，实现了更高效的多项式运算。

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  • 快速傅立叶变换用于优化多项式乘法.

多项式

  • 一个以
    为变量的
    多项式定义在一个代数域
    上，将多项式
    表示为形式和：

  • 称为多项式的
    系数，若一个多项式最高次非零的系数为
    ，则称
    的
    次数是
    ，记作
    . 并称任何一个严格大于多项式次数的整数为该多项式的
    次数界. 可以发现其实一个次数界为
    的多项式可以由一个向量
    表示，称此为多项式的
    系数表达.
  • 对于两个多项式（
    ）的乘法：

其中，

，由此式推导出的向量
称为输入向量
的
卷积，记作
.
  • 点值表达：利用线性代数知识可以知道，一个次数界为
    的多项式可以由
    个点值对组成的集合表示：

其中，

并且
.

DFT及其逆

  • 可以发现，虽然利用系数表达进行多项式乘法的时间复杂度为
    ，但是由于
    的次数界为
    ，所以多项式点值的乘法其实是
    的. 于是优化的方向在：能否快速的把系数表达转化成点值表达（求值），并将计算好的
    的点值快速转化为系数表达（插值）.

复数

  • 我们知道满足
    的复数有
    个，并称
    为单位复数根，此外我们还将
    称为
    主
    次单位根
    ，其他所有单位根均为其幂次，也就是可以将他们全部表示为：

其中，

.
  • 消去引理：对任何整数
    ，以及
    ，均有

  • 折半引理：如果
    为偶数，那么
    个
    次单位根的平方的集合恰好是
    个
    次单位根的集合.（在此我们假设
    是
    的幂次.）

    由于
    ，且
    即证.
  • 求和引理：对于
    ，均有

DFT

  • 可以发现点值表示时的点其实是可以任意选取的，我们希望通过选取合适的点来加速这一过程.
  • 观察多项式
    ，如果将奇偶项分别提取出来：

这么一来可以发现

的幂次都是偶数，或者这么写

这样以来就有

.

我们惊奇地发现这里的

其实是规模为原来一半的多项式求值. 如果注意到刚才的
折半定理，就可以发现如果取
个单位复数根，那么恰好
就恰好取得是
的单位复数根. 所以我们可以递归地去做，并且有

由此实现快速傅立叶变换（FFT）.

逆DFT

  • 利用线性代数矩阵求逆可以知道:

注意到

所以我们只需要用

替换
然后进行快速傅立叶变换并最后将答案除以
即可.

由此实现逆FFT.

其他

  • 解决了
    的情况，对于任意的正整数
    ，只需要高位补零使其成为次数为
    的多项式即可.
  • 优化：利用蝴蝶操作将递归过程改为自底向上迭代过程.
  • 注意到原根也有单位复数根的性质，由此产生快速数论变换（NTT）.
快速数论变换(NTT)
Starry__Night的博客
07-08 4563
题面很简单，就懒得贴了，那不是我要说的重点。 重点是NTT，也称快速数论变换。 在很多问题中，我们可能会遇到在模意义下的多项式乘法问题，这时传统的快速傅里叶变换可能就无法满足要求，这时候快速数论变换就派上了用场。 考虑快速傅里叶变换的实现，利用单位复根的特殊性质来减少运算，而利用的，就是dft变换的循环卷积特性。于是考虑在模意义下同样具有循环卷积特性的东西。 考虑在模p意义下(pp为特定的质
十分简明易懂的FFT（快速傅里叶变换）
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多项式乘法运算终极版
ACdreamer
09-05 2万+
在上一篇文章中 http://blog.youkuaiyun.com/acdreamers/article/details/39005227 介绍了用快速傅里叶变 换来求多项式的乘法。可以发现它是利用了单位复根的特殊性质，大大减少了运算，但是这种做法是对复数系数的矩阵 加以处理，每个复数系数的实部和虚部是一个正弦及余弦函数，因此大部分系数都是浮点数，我们必须做复数及浮点数 的计算，计算量会比较大，而且浮
快速数论变换
linjiayang2016的博客
07-10 1535
由于 FFT 涉及到复数运算，难免有精度问题，而且有的时候精度还不小，这便让我们考虑是否有在模意义下快速计算的方法，这就是快速数论变换。考虑到之前FFT的过程是不断地二分，因而我们可以保证。可以发现，FNT和FFT的效率差别还是很大的，FNT完美碾压FFT。理解FFT后，可以发现，FFT用的是单位根的五大性质。但这也注定了FNT的一个弊端，对于如果。FNT虽快，但使用局限太多，当模数不为。的倍数，因而模数必须有足够多的质因子。，因而舍去前者，取后者，因而有。，进一步可以得到，对于任意。
快速数论变换（NTT）
YY_Tina的博客
03-09 976
开头 NTT就是对FFT进行了改进，上一篇中讲了FFT，可以看到FFT所用的单位根 wnkw_n^kwnk​ 的实部和虚部都是通过正弦和余弦函数计算而来的，所以不可避免地会有很多浮点数运算 所以NTT就是在整数范围内寻找和单位根有相同性质的那些数，可以提升计算的精度 这种整数被找到了，就是原根          欧拉函...
FFT.zip_FFT的快速数论变换_dievm5_快速数论变换
09-15
快速傅立叶变换（FFT）是一种高效的计算离散傅立叶变换（DFT）和其逆变换的方法。在数学、信号处理、图像处理、工程计算等领域有着广泛的应用。本资源"FFT.zip_FFT的快速数论变换_dievm5_快速数论变换"着重探讨了在...
【ACM数论】从“快速傅里叶变换 FFT”到“快速数论变换 NTT”
m0_52114463的博客
08-17 975
FFT全称（Fast Fourier Transformation）快速傅里叶变换NTT全称（Fast Number Theoretical Transformation）快速数论变换如何计算多项式f(x)f(x)f(x)与g(x)g(x)g(x)的乘积？例如：计算f(x)=1+x2+x3f(x)=1+x^2+x^3f(x)=1+x2+x3与g(x)=1+x5+x6+x7g(x)=1+x^5+x^6+x^7g(x)=1+x5+x6+x7的乘积通常而言，我们思考暴力的算法： f(x)×g(x)=1×(1+x5
NTT.rar_NTT_NTT c++_NTT%20c%2B%2B_nttc++_快速数论变换
09-20
与快速傅里叶变换（FFT）类似，NTT在计算速度上具有显著优势，尤其在处理大整数和密码学应用中显得尤为重要。 NTT的核心是利用模逆元和原根的概念。原根是指在某个模p的剩余类环中，满足gcd(g, p-1) = 1且g^(p-1) ...
MATLAB程序.zip_matlab 与物理_matlab 声学_傅里叶_傅里叶变换（fft）matlab_光学变换
07-15
傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——...
快速数论变换.pdf
12-13
上海科学技术出版社出版的《计算方法丛书》之一 共8章： 1.初等数论 2.卷积运算和快速变换 3.数论变换的理论基础 4.Fermat数变换实现中的若干问题 5.代数数论初步 6.二次域和分圆域内的DFT构造 7.任意环上具有循环卷积性质的可逆变换 8.数论变换在其他方面的应用
数论变换：此代码用于求一个序列的NTT-matlab开发
05-30
在这里，我们不是将数字提高到很大的幂，而是进行递归乘法以减少计算和错误。 将结果与 DFT 进行比较。
[模板]快速数论变换(NTT)
十飏 de FATMOUSE.
08-09 668
快速数论变换NTT
【模板】快速数论变换(NTT)
x_mn的博客
01-16 2652
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lahlah的博客
04-23 1046
前置知识 法法踢（fft） 如果不懂FFT的可以先了解一下 NTT的作用 先扯淡一波
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一.一元多项式的根(7.6) 二.复数域上的不可约多项式(7.6) 三.实数域上的不可约多项式(7.7) 四.实数系多项式的根(7.7)
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03-08
### 高精度乘法算法概述 高精度乘法是指用于计算超出常规整数表示范围的大数值之间的乘积的一类算法。这类算法不仅解决了传统计算机硬件对于大数运算能力有限的问题，同时也提高了计算效率。 #### 基础方法——长乘法/列乘法 一种基础且直观的方式是模拟人们日常使用的纸笔乘法规则，即所谓的“长乘法”或“列乘法”。这种方法基于手工乘法的过程，在程序设计中通过循环结构来完成多位数间的逐位相乘操作，并妥善处理每次相乘产生的进位情况[^1]。 ```python def multiply_long_form(num1, num2): result = [0] * (len(num1) + len(num2)) for i in reversed(range(len(num1))): for j in reversed(range(len(num2))): mul = int(num1[i]) * int(num2[j]) p1, p2 = i + j, i + j + 1 sum_ = mul + result[p2] result[p1] += sum_ // 10 result[p2] = sum_ % 10 while len(result) > 1 and not result[0]: del result[0] return ''.join(map(str, result)) or '0' ``` 此代码片段展示了如何利用Python实现两个字符串形式的大数之间按位相乘并考虑进位逻辑的函数`multiply_long_form()`。 #### 进阶优化方案 随着研究深入和技术发展，出现了多种更高效的高精度乘法策略： - **分治乘法**：采用递归方式减少所需执行的基本乘法次数，典型代表为Karatsuba算法以及其扩展版本Toom-Cook算法； - **快速傅立叶变换(FFT)** 或者改进版 快速数论变换(FNTT)，能够显著降低多项式卷积的时间复杂度至 O(n log n)，适用于非常庞大的数字相乘场景； - **中国剩余定理(CRT)** 方法则是借助于模运算特性来进行间接求解，特别适合特定条件下加速计算过程； 上述提到的不同类型的高级技术均能在不同程度上提升性能表现，但具体应用时需综合考量实际需求与资源消耗等因素作出合理选择[^2]。 #### Java中的实践案例 针对Java编程环境下的大数相乘问题，有一种常见的解决方案就是采取逐位相乘再处理进位的办法。这种方式下，会先将参与运算的数据逆序存储在一个数组之中，之后按照位置关系依次配对相乘得到临时结果集，最后调整这些中间产物的位置并通过累加以获得最终答案[^3]。 ```java public class BigIntegerMultiplication { public static String bigIntegerMultiply(String number1, String number2){ if(number1.equals("0") || number2.equals("0")) return "0"; int[] pos = new int[number1.length() + number2.length()]; for(int i=number1.length()-1; i>=0 ;i--){ for(int j=number2.length()-1;j>=0;j--){ int multi = (number1.charAt(i)-'0')*(number2.charAt(j)-'0'); int p1=i+j; int p2=p1+1; int sum = multi + pos[p2]; pos[p1]+=sum / 10; pos[p2]=sum%10; } } StringBuilder sb=new StringBuilder(); boolean flag=false; for(int val :pos){ if(val!=0||flag==true){ sb.append(val); flag=true; } } return sb.toString().equals("")?"0":sb.toString(); } } ``` 这段Java代码实现了类似的逐位相乘机制，其中包含了必要的边界条件判断和零值特判部分。
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