快速数论变换(NTT)

最新推荐文章于 2024-01-25 13:17:08 发布
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分类专栏： 快速傅里叶变换 数学相关 文章标签： 数学 快速傅里叶变换 快速数论变换
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Starry__Night/article/details/46808195
本文介绍了快速数论变换(NTT)，它在模意义下的多项式乘法问题中起到关键作用，当传统快速傅里叶变换(FFT)无法满足需求时，NTT成为解决这类问题的有效工具。内容包括NTT的原理，原根的概念，以及如何在模p（p为特定质数）下进行计算，通过类比FFT的方法来实现NTT。

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今天的A题，裸的ntt，但我不会，于是白送了50分。
于是跑来学一下ntt。
题面很简单，就懒得贴了，那不是我要说的重点。
重点是NTT，也称快速数论变换。
在很多问题中，我们可能会遇到在模意义下的多项式乘法问题，这时传统的快速傅里叶变换可能就无法满足要求，这时候快速数论变换就派上了用场。
考虑快速傅里叶变换的实现，利用单位复根的特殊性质来减少运算，而利用的，就是dft变换的循环卷积特性。于是考虑在模意义下同样具有循环卷积特性的东西。
考虑在模p意义下(p为特定的质数，满足 p=c∗2n+1

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[模板]快速数论变换(NTT)
十飏 de FATMOUSE.
08-09 671
快速数论变换NTT
【ACM数论】从“快速傅里叶变换 FFT”到“快速数论变换 NTT”
m0_52114463的博客
08-17 983
FFT全称（Fast Fourier Transformation）快速傅里叶变换NTT全称（Fast Number Theoretical Transformation）快速数论变换如何计算多项式f(x)f(x)f(x)与g(x)g(x)g(x)的乘积？例如：计算f(x)=1+x2+x3f(x)=1+x^2+x^3f(x)=1+x2+x3与g(x)=1+x5+x6+x7g(x)=1+x^5+x^6+x^7g(x)=1+x5+x6+x7的乘积通常而言，我们思考暴力的算法： f(x)×g(x)=1×(1+x5
快速数论变换（NTT）
YY_Tina的博客
03-09 977
开头 NTT就是对FFT进行了改进，上一篇中讲了FFT，可以看到FFT所用的单位根 wnkw_n^kwnk​ 的实部和虚部都是通过正弦和余弦函数计算而来的，所以不可避免地会有很多浮点数运算 所以NTT就是在整数范围内寻找和单位根有相同性质的那些数，可以提升计算的精度 这种整数被找到了，就是原根          欧拉函...
快速数论变换NTT
hefenghhhh的专栏
12-17 3356
快速数论变换(NTT) 一.相关概念: 1.剩余系: 一个整数去模n得到的结果的集合称为n的简化剩余系,即小于n的非负整数,记为ZnZ_nZn​ 2.简化剩余系: 在n的剩余系中与n互质的元素的集合,称为n的简化剩余系,记为Zn∗Z_n^*Zn∗​ 3.欧拉函数: n的简化剩余系中元素的个数,称为欧拉函数,记为ϕ(n)\phi(n)ϕ(n) 3.原根: 对于正整数x和n,如果x模n的阶为ϕ(n)\...
[模板] NTT快速数论变换
HT008的Blog
04-15 470
题目分析： emmm，求两个多项式卷积 题目分析： FFT能做哇，然而精度和速度… NTT相对于FFT就是变换了原根。 本博客木有讲解，只有板子qwq 题目链接： UOJ #34 Luogu 3803 Ac 代码： #include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm&g...
NTT快速数论变换
ruizhangj的博客
08-23 395
NTT NTTNTTNTT和FTTFTTFTT十分相似，在FTTFTTFTT中使用了单位复根ω\omegaω来取函数值，在NTTNTTNTT中则使用原根ggg来取函数值。在NTTNTTNTT中，所有的数都是模意义下的。 ggg​的一些性质 g1,g2,⋯ ,gp−1g^1,g^2,\cdots,g^{p-1}g1,g2,⋯,gp−1在模ppp意义下互不相同 根据欧拉定理可知gp−1≡1g^{p-1} \equiv 1gp−1≡1 用ggg来替换ω\omegaω实现FFTFFTFFT到NTTNTTNTT的
NTT.rar_NTT_NTT c++_NTT%20c%2B%2B_nttc++_快速数论变换
09-20
快速数论变换（Fast Number Theoretic Transform, NTT）是一种在数论背景下进行的高效算法，主要用于在有限域上进行大规模的线性运算，如乘法、卷积等。与快速傅里叶变换（FFT）类似，NTT在计算速度上具有显著优势，...
NTT（快速数论变换）学习
StaroForgin的博客
12-19 1576
NTT（快速数论变换） NTT是一个与FFT一样想看吐的算法，一个模板，调了一天。 关于FFT的部分我就不过多赘述了，可以参考这篇博客：~~~（还未完工）。 FFT虽然跑得快，但是因为是浮点数运算，终究还是有 精度、常数 等问题。 ------Tiw_Air_OAO 如上面那位巨佬所说，FFT的却存在许多问题，而且处理模数还比较麻烦于是就引入了 NTT，在——模的意义下（多项式的系...
快速数论变换
05-25
该代码是，快速数论变换NNT的C语言源代码，里面有5个函数，采用递归的思想。
【学习笔记】超简单的快速数论变换（NTT）（FFT的优化）（含全套证明）
繁凡さん的博客
12-28 5834
整理的算法模板合集： ACM模板 目录一、前置知识二、快速数论变换（NTT）三、NTT证明（和FFT的关系）四、NTT模板 点我看多项式全家桶(●’◡’●)（全家桶还没写完，待更链接hhh ） 一、前置知识 快速傅里叶变换FTT（学完FFT再看NTT哈，） 原根（链接待更，下面有原根的基础说明，足够今天的NTT使用了） 二、快速数论变换（NTT） 三、NTT证明（和FFT的关系） 我们发现FFT里的大多操作，都跟单位根没有什么关系，（例如选点插值，奇偶分治），我们随便选择一个n个点v,v2
比FFT还容易明白的NTT（快速数论变换）
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路人黑的纸巾
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多项式乘法运算终极版
ACdreamer
09-05 2万+
在上一篇文章中 http://blog.youkuaiyun.com/acdreamers/article/details/39005227 介绍了用快速傅里叶变 换来求多项式的乘法。可以发现它是利用了单位复根的特殊性质，大大减少了运算，但是这种做法是对复数系数的矩阵 加以处理，每个复数系数的实部和虚部是一个正弦及余弦函数，因此大部分系数都是浮点数，我们必须做复数及浮点数 的计算，计算量会比较大，而且浮
NTT——快速数论变换
china_xyc的博客
12-08 305
其实就是FFT 我真的觉得应该先学NTT，感觉比FFT中各种怪力乱神的复数运算好理解多了。。。 原根 对于一个质数ppp，如果存在一个qqq使得qimodp(1≤i<p)q^i mod p (1 \le i< p)qimodp(1≤i<p)互不相同，那么称qqq为ppp的原根。 然后这个玩意就可以像复数单位根一样使了。 ...
NTT学习笔记（快速数论变换）
tanjunming2020的博客
04-29 4125
在$FFT$中，我们选择$n$次单位复根作为$x$的值，因为他们满足消去引理、折半引理、求和引理，所以可以用分治的方法将时间复杂度变为$O(n\log n)$。但因为用了复数，所以在精度上有误差。而在一些题目要求的是带模的多项式乘法，所以$FFT$就用不了了。那么，我们能不能让$x$取整数值，使得这个值也能满足消去引理、折半引理、求和引理呢？
快速数论变换NTT学习笔记
我的技术栈碎碎念空间
01-25 1960
数论变换（number-theoretic transform, NTT）是离散傅里叶变换（DFT）在数论基础上的实现。NTT是一种计算卷积的快速算法，FFT也是其中一种。但是FFT具有一些实现上的缺点，举例来说，向量必须乘上复数系数的矩阵进行处理，而且每个复数系数的实部和虚部是一个正弦及余弦函数，因此大部分的系数都是浮点数，也就是说，必须做浮点复数运算，计算量会比较大，并且浮点数运算产生的误差会比较大。NTT解决的是多项式乘法带模数的情况，受到模数的限制，数也比较大。
matlab实现快速数论变换（NTT）
最新发布
08-21
快速数论变换（Fast Number Theoretic Transform，简称FFT），在MATLAB中通常用于处理离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的效率问题，尤其是在模意义下的DFT，即数论相关的应用。MATLAB提供了一套内置函数，如`fft`和`ifft`，以及针对特定需求优化的函数如`cconv`和`fftshift`，可以高效地计算NTT。 在MATLAB中，实现NTT的基本步骤包括： 1. **理解基础NTT**：了解基本的复数指数形式的NTT，它涉及到将数字序列映射到环Z/pZ上，其中p是一个素数。 2. **使用`ifft`或自定义算法**：对于大素数p，MATLAB的`ifft`函数实际上是通过Bluestein's algorithm或类似于其的变种来实现的NTT。如果需要更底层的控制，可以编写递归版本的NTT或基数r的循环移位法（Radix r FFT）。 3. **利用内置函数**：调用`fft`函数，并指定`'modular'`选项，可以得到模意义下的DFT，这本质上就是NTT。 4. **处理长度为p^n的序列**：如果需要处理长度不是质数幂的序列，可以先进行分块，然后对每个子块进行NTT，最后再组合结果。 ```matlab % 示例代码 prime = primes(100); % 获取一个小的素数集合 p = prime(1); % 选择一个素数 n = log2(p); seq = randi([0, p - 1], 1, p^n); % 随机生成一个长度为p^n的序列 % NTT ntt_result = ifft(seq, [], 'modulus', p); ```
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