数列（矩阵加速，斐波那契变式）

---

题目

描述
TR非常喜欢数学，经常一个人拿出草稿纸研究奇奇怪怪的数学问题，最近，他突然对数列产生了兴趣，他找到一个数列，类似于斐波拉契，即：$T_n=1\ast f_1+2\ast f_2+3\ast f_3+\dots +n\ast f_n$ (fn为斐波拉契的第n项值)现在TR想请你帮忙求Tn%m的值
输入
两个用空格隔开的整数$n$和$m$，$1\le n,m\le 2^{31}-1$
输出
$T_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$的值
样例输入
5 5
样例输出
1

思路

按照矩阵的常规递推求和思路尿性 ，首先在原矩阵中定义一个$T$来表示和，至于下标是多少，待会再来定吧，再看，我们肯定要递推一下斐波那契，所以还要定义两个f，来递推斐波。要得到T，肯定要得到i*f[i]，我们定$q[i]=i\ast f[i]$，则有$q[i]=i\ast f[i]，q[i-1]=(i-1)\ast f[i-1]，q[i-2]=(i-2)\ast f[i-2]$我们来递推一下$q[i]，q[i-1]，q[i-2]$的关系，$$q[i-1]+q[i-2]=(i-1)\ast f[i-1]+(i-2)\ast f[i-2]=$$
$$(i-2)\ast (f[i-1]+f[i-2])+f[i-1]=(i-2)\ast f[i]+f[i-1]$$
我们要得到$i\ast f[i]$，是不是就要减去$f[i-1]$再加上$2\ast f[i]$，所以，递推式就很清楚了$$q[i]=q[i-1]+q[i-2]-f[i-1]+2\ast f[i]$$
所以原矩阵中我们需要$f[i]和f[i-1]$，有了它们俩，我们要递推出$q[i]$，是不是还要$q[i-2]和q[i-1]$，而$T[i-1]=T[i-2]+q[i-1]$，所以原矩阵就为
$$\left[\begin{array}{c}{T}_{n-2}，q_{n-2}，q_{n-1}，f_{n-1}，f_n\end{array}\right]$$
而我们要乘的矩阵就为
$$\left[\begin{array}{c}1,0,0,0,0\\ 0,0,1,0,0\\ 1,1,1,0,0\\ 0,0,-1,0,1\\ 0,0,2,1,1\end{array}\right]$$
快速幂一下就行了

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
#define LL long long

int n, m;

struct Mx{
    int x, y;
    LL a[9][9];

    void cl(){
        memset(a, 0, sizeof(a));
        return ;
    }

    Mx operator * (const Mx &r)const{
        Mx p;
        for(int i = 1; i <= x; i ++){
            for(int j = 1; j <= r.y; j ++){
                p.a[i][j] = 0;
                for(int k = 1; k <= y; k++)
                    p.a[i][j]=(p.a[i][j]+a[i][k]*r.a[k][j]%m)%m;
            }
        }
        p.x = x, p.y = r.y;
        return p;
    }
}A, F;

Mx qkp(Mx b, int y){
    Mx sum;
    sum.cl();
    sum.x = sum.y = b.y;
    for(int i = 1; i < 6; i ++)
        sum.a[i][i] = 1;
    while( y ){
        if( y&1 )
            sum = sum * b;
        b = b * b;
        y >>= 1;
    }
    return sum;
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    F.x = 1, F.y = 5;
    F.a[1][1] = 1, F.a[1][2] = 1;
    F.a[1][3] = 2, F.a[1][4] = 1;
    F.a[1][5] = 2;
    A.cl();
    A.x = A.y = 5;
    A.a[1][1] = A.a[2][3] = A.a[3][1] = A.a[3][2] = A.a[3][3] = 1;
    A.a[4][3] = -1;
    A.a[5][3] = 2;
    A.a[4][5] = A.a[5][4] = A.a[5][5] = 1;
    A = qkp(A, n-1);
    F = F * A;
    printf("%lld\n", F.a[1][1]%m);
    return 0;
}