矩阵加速计算斐波那契数列

摘要

    通过矩阵加速计算，将计算斐波那契数列的时间复杂度优化到，空间复杂度。

 

目录

一、斐波那契数列

二、传统计算方法

    1.递归法

    2.记忆化递归

三、矩阵加速计算斐波那契数列

    1.斐波那契数矩阵

    2.C++代码实现矩阵加速斐波那契数列

    3.快速幂

    4.全部代码

 

一、斐波那契数列

    斐波那契数列，又称黄金分割数列，是指这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，……

     在数学上通常以如下递归方法定义：

二、传统计算方法

1.递归法

   即使用最普通的递归算法进行计算，代码如下：

int Fib(int n){
    if(n == 0) return 0;
    if(n == 1) return 1;
    return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}

    该算法时间复杂度为，时间复杂度推导可参考该篇博客点击跳转。可见当n较大时，时间复杂度将会非常大，满足不了时间要求。

2.记忆化递归（动态规划）

    本质还是用递归的方法。但朴素递归存在重复计算的缺陷。如图是计算斐波那契数列的递归树。

    可见，在递归过程中，很多量被重复计算过很多次。如果我们在计算的同时，将计算过的量存储起来，即加入“记忆化”，可以使计算变得相对高效。

int f[MaxN] = {0};

int Fib(int n){
    if(n == 0) return 0;
    if(n == 1) return 1;
    if(f[n]!=0) return f[n];
    return f[n] = Fib(n-1)+Fib(n-2);
}

   由此算法时间复杂度可以优化到，但显然这种做法是以空间换时间，需要耗费相对较大的空间复杂度。虽然时间复杂度已经优化到线性，但面对较大的数据仍然略显吃力。

三、矩阵加速计算斐波那契数列

1.构造斐波那契矩阵

    笔者假定读者已经熟悉矩阵乘法的计算规则，如果不是，请参考此处。

    我们首先构造这样一个2x2的矩阵：

   

    再构造这样一个2x2的矩阵：

   

   如果我们把如上两个矩阵会得到什么效果？