问题 A: 同余方程-NOIP2012TGD2T1

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#c++ #逆元 #同余方程

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本文介绍了一种求解形如ax≡1(mod b)同余方程的方法，该方程在数论中用于寻找a关于模b的逆元。通过扩展欧几里得算法实现了一个C++程序来计算最小正整数解。

题目描述
求关于x的同余方程ax≡1(mod b)的最小正整数解。

输入格式
每组输入数据只有一行，包含两个正整数a, b，用一个空格隔开。

数据规模：

对于40%的数据，2≤b≤1,000；

对于60%的数据，2≤b≤50,000,000；

对于100%的数据，2≤a, b≤2,000,000,000。

输出
每组输出只有一行，包含一个正整数x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

样例输入

3 10

样例输出

思路：求关于x的同余方程ax≡1(mod b)的最小正整数解等同于求a模b的逆元。

#include <cstdio>

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y) { // x和y的引用
    if (b == 0) { // b为0时，a为gcd，则a*1+b*0=gcd
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int g = exGcd(b, a % b, x, y); //递归计算exGcd(b,a%b)
    int temp = x; //存放x的值
    x = y; //更新x=y(old)
    y = temp - a / b * y;
    return g; // g是gcd
}

int inverse(int a, int m) {
    int x, y;
    int g = exGcd(a, m, x, y); //求解ax+my=1;
    return (x % m + m) % m; // a模m的逆元为(x%m+m)%m
}

int main() {
    int a, b;
    while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
        printf("%d\n", inverse(a, b));
    }
}