问题 H: 最大报销额

题目描述
现有一笔经费可以报销一定额度的发票。允许报销的发票类型包括买图书（A类）、文具（B类）、差旅（C类），要求每张发票的总额不得超过1000元，每张发票上，单项物品的价值不得超过600元。现请你编写程序，在给出的一堆发票中找出可以报销的、不超过给定额度的最大报销额。

输入
测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行包含两个正数 Q 和 N，其中 Q(Q<=2000) 是给定的报销额度，N（N<=30）是发票张数。随后是 N 行输入，每行的格式为：
m Type_1:price_1 Type_2:price_2 … Type_m:price_m
其中正整数 m 是这张发票上所开物品的件数，Type_i 和 price_i 是第 i 项物品的种类和价值。物品种类用一个大写英文字母表示。当N为0时，全部输入结束，相应的结果不要输出。

输出
对每个测试用例输出1行，即可以报销的最大数额，精确到小数点后2位。

样例输入

300.00 3
2 A:33.50 B:150.00
1 C:850.00
3 A:159.99 A:350.00 X:10.00
1100.00 2
2 B:600.00 A:400.00
1 C:300.50
150.00 0

样例输出

183.50
1000.00

提示
首先要按照题目的要求计算后判断每张发票的有效性，接着是一个动态规划算法（没见过类似题目的同学可以搜一下“背包问题”），对于此题，由于题目交代了所有金额都只到小数点后两位，因此乘以100后即是整数，从而可以转化为01背包问题，用dp[i]表示到达总金额为i的有效性。

思路一：动态规划。由于浮点数精度问题需要×1000才能过，dp数组需要开得很大，会浪费很多时间和空间。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 31;
const int maxv = 3001000;

double num[maxn];
int d[maxn], dp[maxv];

int main() {
    double V;
    int n, k;
    while (scanf("%lf %d", &V, &n) != EOF && n != 0) {
        int m;
        char type;
        double price;
        k = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &m);
            bool flag = true;
            double sum = 0;
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                getchar();
                scanf("%c:%lf", &type, &price);
                if (type != 'A' && type != 'B' && type != 'C') {
                    flag = false;
                }
                if (price > 600) {
                    flag = false;
                } else {
                    sum += price;
                }
            }
            if (flag && sum <= 1000) {
                num[k++] = sum;
            }
        }
        for (int i = 1; i < k; i++) {
            d[i] = num[i] * 1000;
        }
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i < k; i++) {
            for (int v = V * 1000; v >= d[i]; v--) { //逆序枚举
                //状态转移方程
                dp[v] = max(dp[v], dp[v - d[i]] + d[i]);
                ans = max(ans, dp[v]);
            }
        }
        double res = ans * 1.0 / 1000;
        printf("%.2lf\n", res);
    }
    return 0;
}

思路二：递归。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 31;
const int maxv = 3001000;

double num[maxn];

void dfs(int begin, double value, double V, int k, double &ans) {
    if (begin == k) {
        return;
    }
    if (value + num[begin] <= V) {
        ans = max(ans, value + num[begin]);
        dfs(begin + 1, value + num[begin], V, k, ans);
    }
    dfs(begin + 1, value, V, k, ans);
}

int main() {
    double V;
    int n, k;
    while (scanf("%lf %d", &V, &n) != EOF && n != 0) {
        int m;
        char type;
        double price;
        k = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &m);
            bool flag = true;
            double sum = 0;
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                getchar();
                scanf("%c:%lf", &type, &price);
                if (type != 'A' && type != 'B' && type != 'C') {
                    flag = false;
                }
                if (price > 600) {
                    flag = false;
                } else {
                    sum += price;
                }
            }
            if (flag && sum <= 1000) {
                num[k++] = sum;
            }
        }
        double ans = 0;
        dfs(1, 0, V, k, ans);
        printf("%.2f\n", ans);
    }
    return 0;
}