树状数组

树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。

树状数组与线段数有些类似，不过树状数组可以解决的问题线段数一定可以，反之则不一定。

先来看下树状数组的图了解下

通过观察我们可以知道

C1 = A1

C2 = A1 + A2

C3 = A3

C4 = A1 + A2 + A3 + A4

C5 = A5

C6 = A5 + A6

C7 = A7

C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

...

C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

那么我们可以看到，奇数都是ci=ai,偶数都是2 ，4，8，16 较特殊，

整体来说就是,   i的二进制后见面有几个0,就是    2的几次方 个数字的和，     

ci代表前面pow(2,k)个数的和， k就是ai后面0的个数  ，k=i&(-i)=i&(i^(i-1)),这个可以通过，负数的二进制，补码，原码证明，有兴趣可以学习一波，不过，i^（i-1)并不等于（-i），这个需要知道。

下面我们通过一道题来详细了解下。

链接：http://poj.org/problem?id=2352

题意

 宇宙中，科学家将星星分了等级，一个星星的坐标为x0,y0,x0,y0,范围里有几个星星，该星星就是几等级，我们要做的就是数一下，从1到n,各等级的星星有多少个，并按照等级大小输出。

输入n;

下面输入n组数据，每组包含一个x,一个y;(输入按照y从小到大，如果y等，再按照x从小到大）；

思路：因为输入已经排过序，所以我们不用考虑y,只要考虑x小于等于即可，而该数据范围不小，如果用线段数，空间时间都浪费，因此我们用树状数组。

//为了方便理解，如果此星星的行坐标   小于等于   行坐标为x的星星,我们就说    行坐标为x的星星   包含    此星星。 
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define maxn (15005)
using namespace std;
int n,m,num[32005],vis[15005];
int lowbit(int x)//求x的二进制后见面有k个0，并返回pow(2,k) 
{
    return x&(-x);
}
void add(int x)
{
    for(int i=x;i<=32001;i+=lowbit(i))//x 为刚输入的星星的行坐标 
    num[i]+=1;//包含x的那个星星行坐标即为i+lowbit(i)，星星的数量加1； 这个需要结合图好好理解。 
    return ;    
}
int query(int x)
{
    int ans=0;
    for (int i=x;i>0;i-=lowbit(i))//与上类似 
    ans+=num[i];//此处计算x内的星星数量，如果num[4]在内的话，num[4]就包含了num[1，2，3，4] ,所以只需要加上num[4]即可,这里用i-loebit(i)； 
    
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        x++;        
        add(x);
        vis[query(x)]++;//query(x)为包含的星星数量，vis为包含query(x)个星星的星星的数量 
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    printf("%d\n",vis[i]);
}