定义. 给定一个函数 f : R n → R f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R} f:Rn→R，它的 共轭函数（conjugate） f ∗ : R n → R f^*:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R} f∗:Rn→R 定义为：
f ∗ ( y ) = sup x ∈ dom f ( y T x − f ( x ) ) . f^*(y)=\mathop{\sup}\limits_{x\in\text{dom}f}\left(y^Tx-f(x)\right). f∗(y)=x∈domfsup(yTx−f(x)).
图 3.8 给出了 conjugate 函数的直观含义， y y y 看成一个线性函数的系数，共轭函数在 y y y 上的取值就是 y y y 对应的直线超过原函数对应值的最大值。
例子.
| 函数 | f ( |
|---|
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