数据结构与算法Python版 递归的应用

---

一、递归应用-十进制转换任意进制

一个十进制整数，实现从二进制到十六进制的任意进制转换。采用递归三定律分析：

• 用整数除和求余数，两个计算来将任意十进制数一步步拆开。除以“进制基base”（// base）得到商，对“进制基”求余数（% base）
• 基本结束条件：余数总小于“进制基base”，是“基本结束条件”，可直接进行查表转换
• 减少问题规模并调用自身：商成为“更小规模”问题，通过递归调用自身解决

def decimal_to_base(decimal_number, base):
    digits = "0123456789ABCDEF"

    if decimal_number < base:
        return digits[decimal_number]
    else:
        # +号实现字符串拼接，两者顺序不能互换
        return (
            decimal_to_base(decimal_number // base, base)
            + digits[decimal_number % base]
        )


print(decimal_to_base(60, 2))
print(decimal_to_base(60, 8))
print(decimal_to_base(60, 16))


### 输出结果
111100
74
3C

二、递归应用-汉诺塔

汉诺塔

• 汉诺塔问题是法国数学家Edouard Lucas于1883年，根据传说提出来的
• 有3根柱子，其中一根套着64个由小到大的黄金盘片，要把这一叠黄金盘从一根柱子搬到另一根，但有两个规则：
  • 一次只能搬1个盘子
  • 大盘子不能叠在小盘子上

分析

• 假设我们有5个盘子，穿在1#柱，需要挪到3#柱
  • 想办法把最上面4个盘子挪到2#柱，那问题就好解决了：把剩下的最大号盘子直接从1#柱挪到3#柱。再用同样的办法把2#柱上的4个盘子挪到3#柱，就完成了整个移动
• 接下来问题就是解决4个盘子如何能从1#挪到2#？此时问题规模已经减小！
  • 想办法把最上面3个盘子挪到3#柱，把剩下最大号盘子从1#挪到2#柱。再用同样的办法把3个盘子从3#挪到2#柱
• 接下来问题就是解决3个盘子如何能从1#挪到3#？此时问题规模已经减小！
  • 想办法把最上面2个盘子挪到2#柱，把剩下最大号盘子从1#挪到3#柱。再用同样的办法把2个盘子从2#挪到3#柱
• 接下来问题就是解决2个盘子如何能从1#挪到2#？此时问题规模已经减小！
  • 把最上面1个盘子挪到3#柱，把剩下最大号盘子从1#挪到2#柱。再把1个盘子从3#挪到2#柱

递归思路

• 将盘片塔从开始柱，经由中间柱，移动到目标柱：
• 首先将上层N-1个盘片的盘片塔，从开始柱，经由目标柱，移动到中间柱；然后将第N个（最大的）盘片，从开始柱，移动到目标柱；最后将放置在中间柱的N-1个盘片的盘片塔，经由开始柱，移动到目标柱。
• 基本结束条件，也就是最小规模问题是：1个盘片的移动问题

### 汉诺塔问题
def move_tower(level, from_pole, with_pole, to_pole):
    if level > 0:  # 结束条件
        # 上层N-1个盘片的盘片塔，从开始柱，经由目标柱，移动到中间柱
        move_tower(level - 1, from_pole, to_pole, with_pole)  #
        # 将第N个（最大的）盘片，从开始柱，移动到目标柱
        move_disk(level, from_pole, to_pole)
        # 将放置在中间柱的N-1个盘片的盘片塔，经由开始柱，移动到目标柱
        move_tower(level - 1, with_pole, from_pole, to_pole