光的波长与波数

光的波长和波数不仅有关联，而且它们的联系非常紧密，是描述光波空间特性的两个核心物理量。 它们是从不同角度对波的空间周期性进行度量。

我们可以用一个简单的比喻来理解：

• 波长：就像测量一个完整的“波浪”的长度（比如从一个波峰到下一个波峰的距离）。

• 波数：更像是数一数在单位距离内能放下多少个这样的“波浪”。

下面我们来详细解释它们的定义、关联和区别。

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1. 定义

波长

• 符号：通常用希腊字母 λ 表示。

• 定义：在波的传播方向上，相位相差 2π 的两个相邻点之间的距离。简单说，就是一个完整波循环的长度。

• 单位：米。

• 物理意义：描述波的空间周期性。波长越长，单个波的空间跨度就越大。

波数

波数的定义有两种常见形式，需要根据上下文区分：

a) 角波数

• 符号：通常用字母 k 表示。

• 定义：k = 2π / λ

• 单位：弧度/米。

• 物理意义：表示在 2π 米的距离内，波经历了多少个完整的周期。它直接关联到波的相位变化率。在波传播方程中，kz 表示波沿 z 方向传播时的相位项。

b) 光谱学波数

• 符号：通常用 ṽ 表示。

• 定义：ṽ = 1 / λ

• 单位：1/米，更常用的是 1/厘米。

• 物理意义：表示在 1 米的距离内，波包含了多少个完整的周期。在光谱学中非常常用。

在物理学和光学（尤其是波导理论）中，当我们提到“波数”时，绝大多数情况下指的是第一种，即角波数 k。 下面的讨论也主要围绕角波数 k 展开。

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2. 核心关联

它们最根本、最重要的关系就是上面提到的定义式：

k=2πλk=λ2π​

这个公式就是连接波长和（角）波数的桥梁。

为什么是 2π？
因为一个完整的波周期对应着相位变化 2π 弧度。所以，波数 k 本质上是空间角频率，它衡量的是相位随空间距离的变化率。这类似于时间角频率 ω = 2π / T（T是周期）衡量的是相位随时间的变化率。

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3. 在波动方程中的体现

这个关系在描述波动的数学表达式中看得最清楚。一个沿 z 方向传播的单色平面波可以表示为：

E(z,t)=Acos⁡(kz−ωt+ϕ)E(z,t)=Acos(kz−ωt+ϕ)

• 当 z 增加一个波长 λ 时，即 z -> z + λ，参数 kz 变为 k(z + λ) = kz + kλ。

• 为了保证相位增加 2π，从而使得余弦函数的值重复（即完成一个周期），必须有：

  kλ=2πkλ=2π

• 这就直接得到了 k=2π/λk=2π/λ。

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4. 与折射率的关系（在介质中）

上面的讨论是针对真空中的光。当光进入介质时，其波长和波数会发生变化，但频率 f 保持不变。

• 真空中的波长和波数：λ₀, k₀ = 2π / λ₀

• 介质中的波长和波数：光在介质中传播速度变慢，v = c / n（n 是介质的折射率）。因此：

  • 介质中的波长：λ = λ₀ / n

  • 介质中的波数：k = n * k₀ = n * (2π / λ₀) = 2π / λ

关键点：在介质中，波数 k 变为了真空中的 n 倍。这反映了光在介质中振荡得更“密集”。

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5. 总结对比

特性	波长	角波数
符号	λ	k
定义	一个完整波周期的长度	k=2πλk=λ2π​
单位	米	弧度/米
物理意义	波的空间周期	波的空间角频率（相位变化率）
在介质中	λ=λ0nλ=nλ0​​	k=nk0k=nk0​
在波动方程中的角色	直观描述波的长短	直接参与相位计算 kz

结论：波长 λ 和波数 k 是成反比关系的同一枚硬币的两面。波长越长，波数越小，表示波在空间上更“舒展”；波长越短，波数越大，表示波在空间上更“紧凑”。在理论计算和公式推导中，波数 k 因其在数学表达上的便利性而使用得更为频繁。