拓扑学习系列（9）计算代数拓扑中的复形COMPLEXES

• 复形

在代数拓扑学中，复形（complexes）是一种重要的代数结构，用于研究拓扑空间的代数性质和同调理论。复形由一系列的单纯形（simplices）以特定方式组合而成，形成一个复杂的结构，通过这种结构可以描述空间的拓扑性质。

复形的计算涉及到构建不同维度的单纯形，并确定它们之间的边界关系。具体步骤包括：

1. 构建单纯形：首先，需要确定构建复形所需的各个维度的单纯形。单纯形是一个几何概念，可以看作是几何空间中的简单形状，如点、线段、三角形等。

2. 确定边界映射：对于每个单纯形，需要确定其边界。边界映射描述了单纯形边界上的点如何组合成边和面。这些边界映射构成了复形的边界算子，是计算同调群的关键。

3. 构建复形：将这些单纯形按照一定规则组合成复形。根据单纯形之间的边界关系，可以构建一个复杂的拓扑结构，用于研究空间的代数性质。

4. 计算同调群：通过应用边界算子，可以计算复形的同调群。同调群是一种代数不变量，描述了拓扑空间的“洞”的结构，有助于理解空间的拓扑特征。

计算代数拓扑中的复形涉及到代数结构和拓扑空间的深入理解，通常需要一定的数学知识和技巧。通过对复形的构建和同调群的计算，我们可以揭示拓扑空间的结构和性质，从代数的角度深入理解空间的几何特征。

• 单纯形（simplices）

单纯形（simplices）是代数拓扑学和几何学中的基本概念，用于描述多维空间中的简单几何形状。单纯形是构建复形（complexes）和进行同调理论的基本构建块，其具有简单而清晰的几何特征，便于研究空间的拓扑性质。

一个 nn 维单纯形是一个几何对象，可以被视为 n+1n+1 个顶点及其所确定的凸包（convex hull）。具体来说：

• 0 维单纯形是一个点，由一个顶点确定。
• 1 维单纯形是线段，由两个顶点确定。
• 2 维单纯形是三角形，由三个顶点确定。
• 3 维单纯形是四面体，由四个顶点确定。
• 以此类推，nn 维单纯形是由 n+1n+1 个顶点确定的凸多面体。

单纯形的名称来源于数学术语“单纯”（simplex），表示它们是构成更高维结构的基本构建单元。在复形中，单纯形可以按照一定规则组合成更复杂的结构，形成一个代数结构，用于研究空间的拓扑性质。

在代数拓扑学中，单纯形的概念是非常重要的，通过对单纯形的组合和边界关系的研究，我们可以构建复形并计算同调群，从而深入了解空间的几何和代数结构。

• 边界映射

确定单纯形的边界映射是计算代数拓扑学中复形同调的关键步骤之一。边界映射描述了单纯形边界上的点如何组合成边和面，从而形成复形的边界算子。以下是确定边界映射的一般步骤：

1. 定义单纯形的顶点和边：首先，对于给定的 nn 维单纯形，标记它的 n+1n+1 个顶点。然后确定单纯形的边，即单纯形的各个顶点之间的连接关系。

2. 确定边界方向：对于每个 nn 维单纯形，需要确定一个边界方向。在一般情况下，可以使用右手法则或者固定顺序的方式来确定边界方向。

3. 定义边界映射：边界映射将 nn 维单纯形映射到其 (n-1)(n−1) 维边界上。对于 nn 维单纯形，其边界映射将会包含 n+1n+1 个 (n-1)(n−1) 维单纯形，分别对应单纯形的各个边。这些边界映射的组合构成了边界算子。

4. 使用符号表示边界映射：一种常见的方式是使用符号表示边界映射，例如使用加减号来表示边界方向。通过符号表示，可以清晰地展示单纯形之间的边界关系。

5. 计算边界映射：最后，根据定义的边界映射规则，计算每个单纯形的边界映射，并将其组合成边界算子。这个边界算子可以用来计算复形的同调群，从而研究空间的拓扑性质。

确定边界映射需要一定的几何直觉和代数技巧，同时也需要理解单纯形的结构和边界关系。通过仔细定义和计算边界映射，可以有效地分析复形的结构和计算同调群。

• 构建复形

构建复形（complexes）是代数拓扑学中的重要任务之一，通过将单纯形（simplices）按照一定规则组合而成，形成一个复杂的代数结构，用于研究空间的拓扑性质和进行同调理论。以下是构建复形的一般步骤：

1. 确定单纯形：首先，确定构建复形所需的各个维度的单纯形。单纯形是代数拓扑学中的基本构建块，可以是点、线段、三角形、四面体等几何形状。

2. 定义单纯形之间的连接关系：对于每个单纯形，定义它与其他单纯形之间的连接关系。根据单纯形的维度，确定它们之间的共享边、面或顶点关系。

3. 遵循组合规则：根据单纯形的连接关系，遵循一定的组合规则将单纯形组合成复形。通常，复形是通过将单纯形沿着它们的边界连接而成的。

4. 验证复形的性质：构建复形后，需要验证复形是否满足一些基本性质，例如闭合性、连通性和单连通性等。这些性质对于研究空间的拓扑特征非常重要。

5. 计算同调群：一旦构建了复形，可以利用边界算子计算复形的同调群。同调群是一种代数不变量，描述了复形的拓扑结构，有助于理解空间的几何性质。

通过构建复形，我们可以将空间的几何性质转化为代数结构，深入研究空间的拓扑性质和进行同调理论的计算。对于复杂的空间，构建复形是一种有效的方法，使得我们可以通过代数方法来理解和分析空间的结构。

• 组合规则

在代数拓扑学中，构建复形时需要遵循一些组合规则，以确保复形的结构良好并适用于同调理论的研究。以下是构建复形时常用的一些组合规则：

1. 封闭性（Closure）：复形是由单纯形按照一定规则组合而成的，每个单纯形的边界都包含在复形中。这保证了复形的封闭性，即复形的每个面都是复形的一部分。

2. 无重复边界（No duplicate boundaries）：在复形中，每个单纯形的边界只能在复形中出现一次。这意味着任何两个单纯形之间最多只有一个共享的边界。

3. 单连通性（Simply connectedness）：复形应该是单连通的，即对于任意两点，可以通过复形内的路径连通。这保证了复形的连通性，使得同调理论能够有效地应用。

4. 合适的连接方式：单纯形之间的连接方式应该符合拓扑空间的要求。例如，对于一个复形中的 nn 维单纯形，它们应该沿着 n-1n−1 维单纯形的边界连接。这样的连接方式有利于计算复形的同调群。

5. 合理的维度限制：复形中的各个单纯形应该按照一定维度的限制组合。通常情况下，一个 nn 维复形应该包含 nn 维及以下的单纯形，而不应该包含更高维度的单纯形。

遵循这些组合规则可以确保构建的复形具有良好的结构，适合进行同调理论的研究并能够准确地描述空间的拓扑性质。通过合理地组合单纯形，我们可以构建复杂的拓扑结构，从而深入研究空间的几何性质。

• 计算同调群

计算同调群是代数拓扑学中重要的任务，通过同调群可以描述拓扑空间的代数性质和结构。以下是计算同调群的一般步骤：

1. 构建复形：首先，构建一个复形，包括不同维度的单纯形按照一定规则组合而成。复形的构建需要遵循组合规则，确保复形的结构良好。

2. 定义边界算子：对于每个 nn 维单纯形，定义一个边界算子 \partial_n∂n​，将该单纯形映射到其 (n-1)(n−1) 维边界上。边界算子描述了单纯形边界上点的组合方式，是计算同调群的关键。

3. 计算边界算子的核和像：对于每个维度 nn，计算边界算子 \partial_n∂n​ 的核（kernel）和像（image）。核是所有边界为零的 nn 维单纯形的集合，而像是所有被边界映射到的 (n-1)(n−1) 维单纯形的集合。

4. 计算同调群：同调群 H_nHn​ 定义为第 nn 维单纯形的核模除以第 nn 维边界算子的像，即 H_n = \text{ker}(\partial_n) / \text{im}(\partial_{n+1})Hn​=ker(∂n​)/im(∂n+1​)。同调群描述了复形中“洞”的结构，是一种代数不变量。

5. 重复步骤 2-4：按照不同维度的顺序，依次计算各维度的同调群。通常从低维开始，逐渐向高维计算，直到所有维度的同调群都被计算出来。

6. 分析和应用：最后，分析同调群的结构和性质，可以帮助理解拓扑空间的几何特征和代数结构。同调群在代数拓扑学、几何学和拓扑数据分析等领域有广泛的应用。

计算同调群需要一定的数学知识和技巧，特别是对代数和线性代数有一定的了解会有帮助。通过计算同调群，我们可以深入研究空间的结构和性质，揭示其拓扑特征和代数不变量。