NOIP常用技巧

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分类专栏： NOIP 文章标签：其他

于 2021-07-02 09:22:38 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/zjy_code/article/details/118405031

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本文总结了NOIP编程竞赛中的常见技巧，包括预处理log2值、强连通图特征、有桥图变为边双连通图的最少边数、字符串哈希判断循环节、异或性质、错排问题的递推公式、区间最大公约数性质、最大子段和的求解方法以及线性预处理、快速读入等算法和优化技巧。

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因为cmath库中的log2函数效率不高，通常可以使用O(n)递推预处理出1-n这n种区间长度各自对应的k值（区间[x,y]，k=log2(y-x+1)），具体的，设log[d]表示log2(d)向下取整，则有log[d]=log[d/2]+1
强连通图的特征即为任意一点i，都有i的入度和出度均不为0；DAG上通过加边使得该树变为强连通图的最少边数即为入度为0的点数in和出度为0的点数out的最大值；即为max(in,out);补充：通常应用为tarjan强连通缩点后的DAG
当叶子节点数=1时，将一个有桥图通过加边变为边双连通图至少要添加的边数为0；否则为(叶子数+1)/2

利用字符串哈希判断循环节，len为整字串的长度n的约数

当字符串为整循环节时	只需要判断l~r-len等于l+len~r
当字符串需要补充字符成为周期时	只需要删除(r-l+1)%len的剩余字符，如上

bool judge(int l,int r,int len)
{
	return h[r-len]-h[l-1]*power[r-l+1-len]==h[r]-h[l+len-1]*power[r-l+1-len];
}

异或的技巧
自反性 A^B^B=A^0=A (异或同时满足交换律和结合律)
错排问题：要求将编号1~n的n个元素放回n个位置，元素i不能在i位置上的方案数；

递推式为D(i)=(i-1)*[D(i-1)+D(i-2)]

解释为：共有i个元素，当前放第x个元素不能放在x位置上，可分为两种情况：一种是x可选择i-1个位置其中一个与其互换位置，即被x占用的位置原先的数y在x的原位置，剩下i-2个元素错排方案为D[i-2]种，则方案为(i-1)*D[i-2]；而另一种为x选择i-1个位置其中一个放置，被x占了的位置不占用x原来的位置，故会剩下i-1个元素，i-1个元素进行错排，方案为(i-1)*D[i-1]种，故上式成立。
```
void D_init(int n)
{
    d[1]=0;
    d[2]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++)
        d[i]=(ll)((i-1)*(d[i-1]+d[i-2])%mod)%mod;
    return;
}
```
区间最大公约数性质： $gcd(a_{l},a_{l+1},a_{l+2},...,a_{r})=gcd(a_l,a_{l+1}-a_l,...a_r-a_{r-1})$ ，因此查询区间的gcd即可有表达式： $ans=(c_l,query(c_{l+1},c_r))$ ，其中 $query(a,b)$ 表示树状数组维护下的从