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数字三角形

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 4     5     2     6     5

在上面的三角形中寻找一条从顶部到底边的路径,使得路径上所经过的数字和最大.路径上的每一步都只能往左下或者右下走.只需要求出这个最大和即可,不必给出具体路径.
三角形的行数大于1小于等于100,数字为0-99.

递归程序

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];

int MaxSum(int i, int j)
{
	if(maxSum[i][j]!=-1)
		return maxSum[i][j];
	if(i==n)
		maxSum[i][j]=D[i][j];
	else
		{
			int x=MaxSum(i+1,j);
			int y=MaxSum(i+1,j+1);
			maxSum[i][j]=max(x,y)+D[i][j];
		}
		return maxSum[i][j];
}

int main()
{
	int i,j;
	cin>>n;
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=1;j<=i;j++)
		{
			cin>>D[i][j];
			maxSum[i][j]=-1;
		}
	cout<<MaxSum(1,1)<<endl;
}

由于遍历每条路径,存在大量重复计算,所以不建议采用.下面让我们来简化计算,利用递推,将计算好的值利用MaxSum(i,j)保存起来,避免重复计算.

递推程序

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];
int main()
{
	int i,j;
	cin>>n;
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=1;j<=i;j++)
			{
				cin>>D[i][j];
			}
	for(int i=1; i<=n; i++)
		maxSum[n][i]=D[n][i];
	for(int i=n-1;i>=1;i--)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			maxSum[i][j]=max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1])+D[i][j];
			cout<<maxSum[1][1]<<endl;
}

优化

现在程序的复制度已经大大下降了,但是还可以进行空间上的优化,将二维数组maxSum用一维数组代替.然后由下往上计算,先由一维数组记录最后一行数据,然后加上上一行二维数组存储的数,将最大值记录在一维数组中和二维数组列数相同的位置,以此类推如图:
原始底层:

        4     5     2     6     5

向上一行计算:

        7     12    10   10   5

再向上一层:

        20    13    10   10   5

优化后的递推

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int n;
int *maxSum;
int main()
{
	int i,j;
	cin>>n;
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=1;j<=i;j++)
			{
				cin>>D[i][j];
			}
	maxSum=D[n];//maxSum指向第n行 
	for(int i=n-1;i>=1;i--)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			maxSum[j]=max(maxSum[j],maxSum[j+1])+D[i][j];
			cout<<maxSum[1]<<endl;
}

计算机201 qyj