【提高组NOIP2008】传纸条 题解

题目描述
小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入
输入文件message.in的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。

接下来的是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出
输出文件message.out共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例输入
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

样例输出
34

数据范围限制
30%的数据满足：1<=m,n<=10
100%的数据满足：1<=m,n<=50

思路

其实是一个很简单的dp，我能想到的有三种做法。

法1

第一种做法是四维dp，这也是最好想的，设f[i][j][k][l]为从小渊传到小轩的纸条到达(i,j)，从小轩传给小渊的纸条到达(k,l)的路径上取得的最大的好心程度和。

完全可以换一个思路想，即求从给定的起点出发走到指定位置的两条最短严格不相交路线。

那么特别显然，转移方程是 f[i][j][k][l]=max( f[i][j-1][k-1][l] , f[i-1][j][k][l-1] , f[i][j-1][k][l-1] , f[i-1][j][k-1][l] )+a[i][j]+a[k][l]。

要小心l的枚举范围，应该是从j+1到m，只有这样，在枚举第二条路的时候可以控制下标的l不会和j有相等的可能，这样可以保证两条路一定不相交（想一想，为什么）

由于终点的值是0，所以目标状态就是f[n][m-1][n-1][m]。

如果你不想这样做，那就让l直接从1枚举，但需要加一个判断，判断当前的(i,j)和(k,l)是不是重合了，如果重合那就把f数组对应的这个地方在转移后减掉一个a[i][j]或者a[k][l]。

原数据比较弱，这个算法时间复杂度是O(n^2 * m^2)的，所以可以过。

法2

第二种做法为三维dp，如果这道题数据被加强了一点，那就应该用这个方法。

仔细观察，我们不难发现一个规律，对于每次转移，这两位同学的纸条走的步数总是相等的，也就是应该总有i+j = k+l = step，我们从这里考虑入手，简化一下那个方程。

我们枚举走的步数，同时枚举第一个人和第二个人的横坐标或者纵坐标，对，只枚举一个就好，另一个可以算出来。

我枚举的是横坐标。

但这样做第一维（也就是枚举步数那一维）要开两倍大小（步数最大有n+m-1），并且需要加入判断重合操作。

优化之后速度比上一个快很多，它的时间复杂度是O(n^2*(n+m)).

法3

第二种做法为二维dp，和第二种方法基本类似。
就是第二种方法，dp是只要用当前步数和前一个步数，所以可以开两个dp二位数组来压位。
空间小，时间一样。