NOIP 2008提高 [传纸条] 题解&代码

题目描述：

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个$m$行$n$列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标$(1,1)$，小轩坐在矩阵的右下角，坐标$(m,n)$。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用$0$表示），可以用一个$0-100$的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这$2$条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的$2$条路径。

输入输出格式:

输入格式：

输入文件，第一行有22个用空格隔开的整数$m$和$n$，表示班里有$m$行$n$列。

接下来的$m$行是一个$m\times n$的矩阵，矩阵中第$i$行$j$列的整数表示坐在第$i$行$j$列的学生的好心程度。每行的$n$个整数之间用空格隔开。

输出格式：

输出文件共一行，包含一个整数，表示来回22条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入输出样例:

输入样例#1：

$3$ $3$
$0$ $3$ $9$
$2$ $8$ $5$
$5$ $7$ $0$

输出样例#1：

$34$

说明:

【限制】

30%的数据满足：$1$ ≤ $n,m$ ≤ $50$
100%的数据满足：$1$ ≤ $m,n$ ≤ $50$
NOIP 2008提高组第三题

分析：

• 我们需要找两条不相交的从左上角到达右下角的权值和最大的路径，那么就可以把当前走过的步数当做$dp$的阶段。
• 很容易想到一个方程 $f[i,x1,y1,x2,y2]$表示当走了$i$步时，第一条路径末端在$[x1,y1]$这个位置，第二条路径末端在$[x2,y2]$这个位置。
• 但是一算空间复杂度： $50^4$ $\ast$ $100$ $\ast$ $4$ $÷$ $8$ $÷$ $1024$ $÷$ $1024$ ≈ $2.4GB$。
• 貌似好像不行。
• 但是观察一下上面$5$个值的关系，容易发现有以下等式成立 （不要问我怎么证，我也不知道）： $x1+y1=x2+y2=i+1$，由此有用 $i,x1,y1$就可表示一个状态。
• $y1=i+2-x1$, $y2=i+2-x2$。
• 每条路径都有向右，向下的扩展方法，总共就有$2\ast 2=4$种。下面展现两条路径都向右扩展的例子，其余三种情况类似。
• 假如 $x1==x2$ 和 $y1+1=y2+1$ ，那么两条路径进入同一个格子，只累加一次。
• $f[i+1][x1][x2]=max(f[i+1][x1][x2],f[i][x1][x2]+a[x1][y1+1])$
• 反之 $f[i+1][x1][x2]=max(f[i+1][x1][x2],f[i][x1][x2]+a[x1][y1+1]+a[x2][y2+1])$
• 初值为 $f[0,1,1]=a[1,1]$,目标为$f[n+m-2,n+m]$。

代码如下:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 60, M = 300;
int n, m;
int a[M][M] = {};
int f[M][M][M] = {};

int main() {
	freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);
	
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		for (int j=1;j<=m;j++) {
			scanf("%d",&a[i][j]);
		}
	}
	
	f[0][1][1] = a[1][1];
	for (int i=0;i<=200;i++) 
		for (int j=1;j<=min(n,i+1);j++)
			for (int k=1;k<=min(n,i+1);k++) {
				int x1 = j, x2 = k;
				int y1 = i+2-x1, y2 = i+2-x2;
				
				if (x1+1 == x2+1 && y1 == y2) 
					f[i+1][x1+1][x2+1] = max(f[i+1][x1+1][x2+1], f[i][x1][x2] + a[x1+1][y1]);
				else f[i+1][x1+1][x2+1] = max(f[i+1][x1+1][x2+1], f[i][x1][x2] + a[x1+1][y1] + a[x2+1][y2]); // down down
				
				if (x1 == x2 && y1+1 == y2+1) 
					f[i+1][x1][x2] = max(f[i+1][x1][x2], f[i][x1][x2] + a[x1][y1+1]);
				else f[i+1][x1][x2] = max(f[i+1][x1][x2], f[i][x1][x2] + a[x1][y1+1] + a[x2][y2+1]); // Right Right 
				
				if (x1+1 == x2 && y2+1 == y1) 
					f[i+1][x1+1][x2] = max(f[i+1][x1+1][x2], f[i][x1][x2] + a[x1+1][y1]);
				else f[i+1][x1+1][x2] = max(f[i+1][x1+1][x2], f[i][x1][x2] + a[x1+1][y1] + a[x2][y2+1]); //down Right
				
				if (x1 == x2+1 && y2 == y1+1) 
					f[i+1][x1][x2+1] = max(f[i+1][x1][x2+1], f[i][x1][x2] + a[x1][y1+1]);
				else f[i+1][x1][x2+1] = max(f[i+1][x1][x2+1], f[i][x1][x2] + a[x1][y1+1] + a[x2+1][y2]); //Right down
			}
	printf("%d",f[n+m-2][n][n]);
	return 0;
}