快速幂和矩阵快速幂

  快速幂指的是A = 1；矩阵快速幂指的是A=E, E为单位矩阵，即主对角线为1，其余为0；

快速幂：一般用long long ,且取余。

#include <iostream>
using namespace std;
#define mod 1e9 + 7
#define long long ll

ll quick_pow(int n, int base){//base^n
	ll ans = 1;
	ll multi = base;
	while(n){
		if(n % 2)// n & 1 || n % 2 ==  
			ans *= multi;
		ans %= mod;
		n /= 2;// n >> 1;效率高
		multi *= multi;
		multi %= mod; 
	}
	return ans;
}

   作用：使用矩阵快速幂求递推式；例如斐波那契数列，求其第几项的值，范围到1e9，就需要用到矩阵快速幂。

   斐波那契的定义是f(1)=f(2)=1; 然后f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n>=2) 我们也可以这样定义f(1)=f(2)=1; [f(n),f(n-1)]=[f(n-1),f(n-2)][1,1,1,0],其中[1,1,1,0] 是一个2*2的矩阵 上面一行是1,1，下面一行是1,0，这样就可以化简了写成[f(n),f(n-1)]=[f(2),f(1)]*[1,1,1,0]^(n-2)。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define NUM 50
#define mod 1e9
int MAXN, n;

struct node {
	int a[MUN][MUN];
	void init(){
		memset(a, 0, sizeof(a));
		for(int i = 0; i < MAXN; ++i)
			a[i][i] = 1;
	}
}A;


Matrix mul(Matrix a, Matrix b){//矩阵乘法 
	Matrix ans;
	for(int i = 0; i < MAXN; ++i){
		for(int j = 0; j < MAXN; ++j){
			ans.[i][j] = 0;
			for(int k = 0; k < MAXN; ++k)
				ans.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j];
			ans.a[i][j] % mod;
		}
	}
	return ans; 
} 

Matrix add(Matrix a, Matrix b){//矩阵相加 
	Matrix ans;
	for(int i = 0; i < MAXN; ++i){
		for(int j = 0; j < MAXN; ++j){
			ans.a[i][j] = a.a[i][j] + b.a[i][j];
			ans.a[i][j] %= mod;
		}
	}
	return ans;
}

Matrix pow(Matrix a, int n){//矩阵快速幂 
	Matrix ans;
	ans.init;
	while(n){
		if(n & 1)
			ans = mul(ans, a);
		n >> 1;
		a = mul(a, a);
	} 
	return ans;
}

Matrix sum(Matrix a, int n){//矩阵求和 
	int m;
	Matrix ans, pre;
	if(n == 1)
		return a;
	m = (n >> 1);
	pre = sum(a, m);//[1,n/2]
	ans = add (pre, mul(pre, pow(a, m)));//ans=[1,n/2]+a^(n/2)*[1,n/2]
	if(n & 1)
		ans = add(ans, pow(a, n)); //ans=ans+a^n
	return ans;
}


void output(Matrix a)//输出矩阵
{
  for(int i=0;i<MAXN;i++)
    for(int j=0;j<MAXN;j++)
      printf("%d%c",a.a[i][j],j==MAXN-1?'\n':' ');
}
int main()
{
  freopen("in.txt","r",stdin);
  Matrix ans;
  scanf("%d%d%d",&MAXN,&n,&mod);
  for(int i=0;i<MAXN;i++)
    for(int j=0;j<MAXN;j++)
    {
      scanf("%d",&A.a[i][j]);
      A.a[i][j]%=mod;
    }
  ans=sum(A,n);
  output(ans);
  return 0;
}