【知识点】快速幂与矩阵快速幂

什么是快速幂，为什么要使用快速幂？

Macw: 快速幂有好多好处。
Penelope: 例如？
Macw: 它比较快。

见名知意，快速幂算法可以在非常短的时间内求出一个数的 $n$ 次幂。虽然快速幂在初学阶段的应用不算太多，但是快速幂背后的思想是非常值得我们去理解的。

举例而言，如果我们要求出 $3^4$ 的值是多少？我们当然可以暴力求解 $3\times 3\times 3\times 3=81$。如果要求出 $3^n$ 是多少呢？暴力也还不为过…

暴算法力求解一个数的次幂的时间复杂度是 $O(n)$。如果我们要求解的次幂非常高的时候，那么速度就会变得非常慢。众所周知，普通64位测评机每秒也就能处理 $10^8$ 左右的数据。因此我们需要找到一个更优的算法来解决这个问题。

快速幂算法的核心思想就是幂运算的乘法法则。

我们以求 $3^{16}$ 为例，根据“同底次幂相乘，底数不变，指数相加的法则”，我们可以把问题看作成求解 $3^8\times 3^8$ 的值。不难看出，这样的话我们只需要知道 $3^8$ 的值，我们就可以快速求出 $3^{16}$ 的值了，不再需要在 $3^8$ 的基础上再乘 $8$ 遍来得到最终结果。相同地，我们也可以以同样的方法快速求出 $3^8$ 的值，这样子程序运行的速度将会大大减少：

再以计算 3163^{16}