<think>
我们正在处理世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系和像素坐标系之间的转换。根据引用资料，转换过程主要分为两个步骤：
1. 世界坐标系到相机坐标系（通过相机外参）
2. 相机坐标系到图像坐标系（通过相机内参，其中图像坐标系通常指物理单位表示的图像平面坐标，然后还需要转换到像素坐标系）
具体步骤：
- 世界坐标系（World Coordinate System, WCS）是物体在真实世界中的坐标，用三维点表示。
- 相机坐标系（Camera Coordinate System, CCS）是以相机光心为原点的坐标系，Z轴沿光轴方向。
- 图像坐标系（Image Coordinate System）是在成像平面上的二维坐标系，通常以光心在图像平面的投影为原点（一般用物理单位，如毫米）。
- 像素坐标系（Pixel Coordinate System）是图像在计算机中存储的坐标系，原点在图像的左上角，单位为像素。
转换关系：
1. 世界坐标系 -> 相机坐标系：通过刚体变换（旋转矩阵R和平移向量t）。若有一个点P在世界坐标系中的坐标为$P_w = (X_w, Y_w, Z_w)^T$，在相机坐标系中的坐标为$P_c = (X_c, Y_c, Z_c)^T$，则：
$$ P_c = R \cdot P_w + t $$
或者写成齐次坐标形式：
$$ \begin{bmatrix} X_c \\ Y_c \\ Z_c \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_w \\ Y_w \\ Z_w \\ 1 \end{bmatrix} $$
2. 相机坐标系 -> 图像坐标系（物理单位）：利用小孔成像模型。设相机焦距为f，则：
$$ x = f \frac{X_c}{Z_c}, \quad y = f \frac{Y_c}{Z_c} $$
这里得到的(x,y)是物理单位（例如毫米）表示的图像平面坐标。
3. 图像坐标系（物理单位）-> 像素坐标系：需要知道每个像素在x和y方向的物理尺寸（dx, dy，单位：毫米/像素）以及图像中心（即主点）在像素坐标系中的坐标(u0, v0)。则：
$$ u = \frac{x}{dx} + u_0, \quad v = \frac{y}{dy} + v_0 $$
通常，我们用一个内参矩阵K来表示这个变换：
$$ K = \begin{bmatrix} f_x & 0 & u_0 \\ 0 & f_y & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$
其中，$f_x = f / dx$, $f_y = f / dy$。
因此，从相机坐标系到像素坐标系的齐次坐标变换可以写为：
$$ \begin{bmatrix} u \\ v \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{Z_c} K \begin{bmatrix} X_c \\ Y_c \\ Z_c \end{bmatrix} $$
注意：这里我们取齐次坐标，所以实际计算时，需要将得到的(u,v)除以第三项（即深度Z_c）来得到归一化的像素坐标。
综合起来，从世界坐标到像素坐标的变换为：
$$ \begin{bmatrix} u \\ v \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{Z_c} K \begin{bmatrix} R & t \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_w \\ Y_w \\ Z_w \\ 1 \end{bmatrix} $$
其中，$\begin{bmatrix} R & t \end{bmatrix}$是外参矩阵（通常为3×4矩阵，或者使用4×4齐次矩阵取前3行），K是内参矩阵（3×3）。
注意：在实际应用中，我们通常将世界坐标点表示为齐次坐标（4维向量，最后一项为1），然后左乘外参矩阵（3×4）得到相机坐标（3维向量，非齐次），再左乘内参矩阵（3×3）得到齐次像素坐标，最后除以深度（即Z_c）得到像素坐标。
代码示例（参考引用[2]）：
假设我们有：
- 内参矩阵K
- 外参矩阵（这里外参矩阵可以用4×4的变换矩阵T表示，或者用旋转矩阵R和平移向量t表示）
以下是一个转换函数的示例：
```python
import numpy as np
def world_to_pixel(point_world, R, t, K):
"""将世界坐标系中的点转换到像素坐标系
参数:
point_world: 世界坐标系中的点，形状(3,)或(4,)，如果是3维则自动转换为齐次坐标
R: 旋转矩阵，形状(3,3)
t: 平移向量，形状(3,)
K: 相机内参矩阵，形状(3,3)
返回:
像素坐标(u, v)
"""
# 确保point_world是齐次坐标形式（4维）
if len(point_world) == 3:
point_world = np.append(point_world, 1.0)
# 将世界坐标点转换为相机坐标系
point_camera = R @ point_world[:3] + t # 这里point_world[:3]是前三项，即非齐次部分
# 或者使用齐次变换矩阵（这里用分步计算）
# 注意：上面这种写法等价于：point_camera = R @ point_world[:3] + t.reshape(3,1) 但如果t是行向量则需要转置
# 更通用的做法是构建一个3x4的变换矩阵
T = np.hstack((R, t.reshape(3,1)))
point_camera = T @ point_world # 此时point_camera是3维向量
# 从相机坐标系到像素坐标系
# 先进行投影（得到归一化坐标）
if point_camera[2] == 0: # 避免除以0
return None
x = point_camera[0] / point_camera[2]
y = point_camera[1] / point_camera[2]
# 转换为齐次坐标
point_image = np.array([x, y, 1])
point_pixel = K @ point_image
u = point_pixel[0]
v = point_pixel[1]
return u, v
```
注意：上面的代码中，我们假设输入的t是列向量，或者能够与R水平拼接（因此t应该是3×1的列向量）。在实际使用中，需要根据输入进行调整。另外，上面的转换没有考虑畸变。
此外，引用[2]中提到外参有时用四元数（qw,qx,qy,qz）和平移向量（tx,ty,tz）表示，我们需要将四元数转换为旋转矩阵。可以使用以下函数转换：
```python
import numpy as np
from scipy.spatial.transform import Rotation as R
def quaternion_to_rotation_matrix(q):
"""将四元数转换为旋转矩阵
参数:
q: 四元数，格式为(qw, qx, qy, qz)
返回:
旋转矩阵R，形状(3,3)
"""
# 使用scipy的Rotation
r = R.from_quat([q[1], q[2], q[3], q[0]]) # 注意：scipy要求输入为(x,y,z,w)，所以调整顺序
return r.as_matrix()
```
这样，如果给定了四元数和平移向量，我们可以先得到旋转矩阵R，然后使用上面的转换函数。
总结：
1. 世界坐标系到相机坐标系：通过外参（旋转矩阵R和平移向量t）进行刚体变换。
2. 相机坐标系到图像坐标系：利用透视投影（小孔成像模型），除以Z_c得到归一化坐标。
3. 图像坐标系（归一化坐标）到像素坐标系：通过内参矩阵K进行线性变换。
注意：在实际应用中，我们通常将内参矩阵K和外参矩阵[R|t]合并成一个投影矩阵P=K[R|t]，然后直接使用P将世界坐标点（齐次坐标）变换到像素坐标（齐次坐标），然后除以第三个分量得到像素坐标。
参考文献：
[^1]: 计算机视觉：相机成像原理：世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系之间的转换
[^2]: 世界坐标系，相机坐标系，像素坐标系转换 详细说明（附代码）
§§相关问题§§
1. 相机内参矩阵包含哪些参数？如何标定？
2. 相机外参矩阵的作用是什么？如何求解？
3. 在相机坐标系转换到像素坐标系的过程中，为什么需要除以Z_c？
4. 如何使用OpenCV实现世界坐标系到像素坐标系的转换？
</think>### 坐标系转换详解
在计算机视觉中，世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系和像素坐标系之间的转换是核心基础。转换过程涉及相机内参和外参，以下是完整的转换流程：
#### **1. 世界坐标系 → 相机坐标系**
- **转换公式**：
$$ \begin{bmatrix} X_c \\ Y_c \\ Z_c \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_w \\ Y_w \\ Z_w \\ 1 \end{bmatrix} $$
其中：
- $(X_w, Y_w, Z_w)$：世界坐标系坐标
- $(X_c, Y_c, Z_c)$：相机坐标系坐标
- $R$：旋转矩阵（3×3）
- $t$：平移向量（3×1）
- **示例代码**：
```python
import numpy as np
def world_to_camera(point_world, R, t):
point_homogeneous = np.append(point_world, 1) # 齐次坐标
T = np.vstack([np.hstack([R, t.reshape(3,1)]), [0,0,0,1]]) # 外参矩阵
point_camera = T @ point_homogeneous
return point_camera[:3] # 返回非齐次坐标
```
#### **2. 相机坐标系 → 图像坐标系**
- **转换公式**（透视投影）：
$$ \begin{cases}
x = f_x \frac{X_c}{Z_c} \\
y = f_y \frac{Y_c}{Z_c}
\end{cases} $$
其中：
- $(x, y)$：图像坐标系坐标（物理单位，如毫米）
- $f_x, f_y$：焦距参数（内参）
#### **3. 图像坐标系 → 像素坐标系**
- **转换公式**：
$$ \begin{bmatrix} u \\ v \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{dx} & 0 & u_0 \\ 0 & \frac{1}{dy} & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} $$
其中：
- $(u, v)$：像素坐标（像素单位）
- $(u_0, v_0)$：主点坐标（图像中心）
- $(dx, dy)$：单个像素的物理尺寸
#### **4. 完整转换（世界→像素）**
- **内参矩阵 $K$**：
$$ K = \begin{bmatrix} f_x & 0 & u_0 \\ 0 & f_y & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$
- **转换公式**：
$$ Z_c \begin{bmatrix} u \\ v \\ 1 \end{bmatrix} = K \begin{bmatrix} R & t \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_w \\ Y_w \\ Z_w \\ 1 \end{bmatrix} $$
- **Python实现**：
```python
def world_to_pixel(point_world, K, R, t):
point_cam = world_to_camera(point_world, R, t)
x, y, z = point_cam
# 相机坐标系→归一化坐标
x_norm = x / z
y_norm = y / z
# 像素坐标
uv_homogeneous = K @ np.array([x_norm, y_norm, 1])
return uv_homogeneous[:2] # 返回(u,v)
```
#### **关键参数说明**
| 参数类型 | 参数示例 | 物理意义 |
|----------|----------------|------------------------------|
| **内参** | $f_x, f_y$ | 焦距（像素单位） |
| | $u_0, v_0$ | 主点（图像中心像素坐标） |
| | $k_1, k_2$ | 畸变系数（未展示） |
| **外参** | $R$（旋转矩阵）| 世界坐标系到相机坐标系的旋转 |
| | $t$（平移向量）| 世界坐标系到相机坐标系的平移 |
> 注：实际应用中需先进行**相机标定**获取内参（如棋盘格标定法），外参可通过PnP算法求解[^1][^2]。
---
### 应用示例
假设：
- 内参 $K = \begin{bmatrix} 800 & 0 & 320 \\ 0 & 800 & 240 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
- 外参 $R = I$（单位矩阵），$t = [0, 0, 1]^T$
- 世界点 $P_w = [0.5, 0.5, 0]^T$
转换过程：
1. $P_c = [0.5, 0.5, 1]^T$（相机坐标）
2. $x = 800 \times 0.5/1 = 400$, $y = 800 \times 0.5/1 = 400$（图像坐标）
3. $u = 400 + 320 = 720$, $v = 400 + 240 = 640$（像素坐标）
---
此博客为转载，作者对原文细节添加了说明，原文链接为https://blog.youkuaiyun.com/u011754972/article/details/116305011 ，主要涉及图像处理领域。
扫一扫
5986
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
