数论概论笔记 第5章 整除性与最大公因数

素数、公因数和互质的定义不必再说。

欧几里得算法（辗转相除法）：

要计算两个整数a和b的最大公因数，先令 r[-1] = a 且 r[0] = b，然后计算相继的商和余数

r[i - 1] = q[i + 1] ×r[i] + r[i + 1],  (i = 0, 1, 2 ……)，

知道某余数r[n + 1]为0，最后的非零余数r[n]就是a和b的最大公因数。

现证明该算法的正确性，证明如下：

现证明 r[n] 是 a, b 的公因数；

已知 r[n - 1] = q[n + 1] × r[n]，则 r[n] 整除 r[n - 1]；

又由于r[n - 2] = q[n] × r[n - 1] + r[n]，则 r[n] 整除 r[n - 2]；

……

以此类推，可得 r[n] 整除 a, b，则 r[n] 为 a, b 的公因数；

现证明 r[n] 是最大的公因数；

设有 d 整除 a, b,

由于 a = q[1] × b + r[1],，r[1] = a - q[1] × b, 故 d 整除 r[1]；

同理，由于b = q[2] ×r[0] + r[2]，d 整除 r[2]；

……

以此类推，得 d 整除 r[n]， 则 r[n] ≥ d。故 r[n] 为最大公因数。

现证明该算法可在有限步内完成：

由于 r[i] 是对 r[i - 1] 取模的结果，有0 ≤ r[i] < r[i - 1]；

由于 r[i] 为正整数且数列绝对单调，则 r[n] 一定能在 r[1] 步内完成，即 r[n + 1] = 0；

综上所述，该算法正确且能够运行。

证明完毕。

int gcd(int a, int b)
{
	return !b ? a : gcd(b, a % b);
}

int lcm(int a, int b)
{
	return a / gcd(a, b) * b;
}