数论概论 第六章 线性方程与最大公因数

    本章讨论的是如何求解二元一次方程的整数解，既然是讨论整数解的问题，那么就会先考虑在何种情况下有解，在何种情况下无解。其实，如果对于一般形式：ax+by=c，我们可以在左边提出公因式gcd(a,b)，那么得到

也就是说，左边能保证是一个整数，因为x和y是我们要求的整数解，而显然有gcd(a,b)|a和gcd(a,b)|b，因此如果右边c不能整除gcd(a,b)，那么这个方程显然是无解的，也就是说，这个方程如果c不是gcd(a,b)的倍数，那么该方程无解。

那如果c是gcd(a,b)的倍数，是不是一定有解呢？如果ax+by=gcd(a,b)有解x'和y'，那么