数论概论笔记 第11章 欧拉Φ函数与中国剩余定理

定理11.1 Φ函数公式：

(a) 如果p是素数且k ≥ 1， 则 Φ(p ^ k) = p ^ k  - p ^ (k - 1)；

(b) 如果 gcd(m, n) = 1, 则 Φ(mn) = Φ(m) Φ(n)

定理11.1证明：

定理11.1 (a) 证明：

当m = p ^ k，p 是素数， [1, m) 内的a 被 p 整除时，a 不与 p ^ k 互素，即

Φ(p ^ k) = p ^ k - # {a: 1 ≤ a ≤ p ^ k, p | a}

              = p ^ k - p ^ (k - 1)

定理11.1 (a) 证明完毕；

定理11.1 (b)证明：

取集合 {a : 1 ≤ a ≤mn, gcd(a, mn) = 1}                                                  （1）

与集合{(b, c) : 1 ≤ b ≤m, gcd(b, m) = 1,  1 ≤ c ≤n, gcd(c, n) = 1}        （2）

需证明：⑴集合（1）的不同数对应集合（2）中的不同序对；

                ⑵集合（2）的每个序对适合集合（1）中的某个数

设对应关系满足 a ≡ b (mod m),，a ≡ c (mod n)

陈述⑴：取集合（1）中的两个数 a1, a2，设a1, a2在集合（2）中有相同的象，

                有 a1 ≡ a2 (mod m),，a1 ≡ a2 (mod n)，

                故a1 - a2 被m, n整除

                因为 m, n 互素，则a1 - a2 被mn整除，a1 ≡ a2 (mod mn)

                则a1, a2是集合（1）中的相同元素。陈述⑴得证；

陈述⑵ 需证对b, c 的任何已知值，至少有一个整数 a 满足

               a ≡ b (mod m) 与a ≡ c (mod n)

               该证明见中国剩余定理的证明：

定理11.2 中国剩余定理：设m与n 为整数，gcd(m, n) = 1，b与c为任意整数，则同余式组

              x ≡ b (mod m) 与 x ≡ c (mod n)

             恰有一个解0 ≤ x ≤mn。

定理11.2 证明：

由解第一个同余式 x ≡ b (mod m) 开始，其解由形如 x = my + b 的所有数组成；

代入第二个同余式得：

my ≡ (c - b) (mod n)

该式恰有一个解 y1 使 1 ≤ y1 < n

则 x1 = my1 + b 为原同余式的解

求Φ函数

void initphi(int N)
{
	for (int i=1; (phi[i] = i) != N; ++i);
	for (int i=2; i!=N; ++i)
		if (phi[i] == i)
			for (int j=i; j<=N; j += i)
				phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
}

中国剩余定理

int china(int b[], int w[], int k)
{//b[i] = a % w[i], 所有w[i]互质
	int n = 1, a = 0, x, y;
	for (int i=0; i!=k; ++i)
		n *= w[i];
	for (int i=0; i!=k; ++i)
	{
		int m = n / w[i];
		extgcd(w[i], m, x, y); //使 y * m % w[i] = 1
		a = (a + y * m * b[i]) % n;
	}
	return (a + n) % n;
}