数论概论读书笔记 5.整除性与最大公因数

最新推荐文章于 2020-10-21 11:30:20 发布
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分类专栏： Number Theory 数论概论读书笔记
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本文详细介绍了欧几里得算法，一种高效计算两整数最大公因数（GCD）的方法。通过一系列的商和余数计算，直至余数为零，最终的非零余数即为所求GCD。文章还指出，该算法的步骤数不会超过较大数的位数的7倍。

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整除性与最大公因数

定理5.1（欧几里得算法）. 要计算两个整数a与b的GCD，先令r−1=ar−1=a且r0=br0=b，然后计算相继的商和余数：ri−1=qi+1∗ri+ri+1(i=0,1,2,...)ri−1=qi+1∗ri+ri+1(i=0,1,2,...)，直到某余数rn+1=0rn+1=0，最后的非零余数rnrn就是a与b的最大公因数。

欧几里得算法的步数至多是b的位数的7倍

数论概论 第五章 整除性与最大公因数
喵呜的Blog
05-18 2389
      本章主要考虑的是最大公因数的问题。最大公因数第一次出现记得是在小学的时候，那时老师要求用短除法（实质就是质因子分解）来解决，但是，到高中貌似是必修三的时候才知道，有“辗转相除法”和“更相减损术”等方法能够更快的求出两个数的最大公因数。其中“辗转相除法”就是本章介绍的“欧几里得算法”，但是当时并没有对其正确性进行证明，而今天才知道它的证明过程。       对于欧几里得算法，我们知道其计算过程为：                           所以我们可以得到Rn可以整除Rn-1，而
初等数论--整除--公因数一定是最大公因数的因数
qq_41545715的博客
10-20 2554
信息安全数学基础--整除--公因数一定是最大公因数的因数最大公因数公因数一定是最大公因数的因数:d∣a且d∣b↔d∣(a,b)d|a且d|b\leftrightarrow d|(a,b)d∣a且d∣b↔d∣(a,b) 最大公因数 d=(a,b)d=(a,b)d=(a,b) 满足两个条件：{d∣a且d∣b对整数c,如果c∣a且c∣b，有c≤d 满足两个条件：\left\{ \begin{aligned} d|a且d|b \\ 对整数c,如果c|a且c|b，有c\le d \\ \end{aligned} \
数论概论笔记 第5章 整除性与最大公因数
观云斋
03-15 707
素数、公因数和互质的定义不必再说。 欧几里得算法（辗转相除法）： 要计算两个整数a和b的最大公因数，先令 r[-1] = a 且 r[0] = b，然后计算相继的商和余数 r[i - 1] = q[i + 1] ×r[i] + r[i + 1],  (i = 0, 1, 2 ……)， 知道某余数r[n + 1]为0，最后的非零余数r[n]就是a和b的最大公因数。 现证明该算法的正确性，证
[笔记]最大公因数与最小公倍数算法
EvergIow的博客
03-13 479
最大公因数（Greatest Common Divisor） int gcd(int a,int b) { if(b == 0) return a; return gcd(b,a%b); } 也可以直接使用C++中的__gcd()函数 最小公倍数（Least Common Multiple) int lcm(int a,int b) { return a*b/gcd(a,b); } ...
数论概论笔记 第6章 线性方程与最大公因数
观云斋
03-15 782
定理：形如 ax + by 的二元整数式的最小正整数等于 gcd(a, b)，证明略； 由欧几里得算法，有： a = q1 * b + r1 r1 = a - q1 * b b = q2 * r1 + r2 r2 = b - q2 * r1 = -q2 * a + (1 + q1 * q2) * b r1 = q3 * r2 + r3 r3 = r1
（3）整除性与最大公因数
shi_zi_183的博客
09-15 1089
整除性 在勾股数组的研究中我们已经看到，整除性与因式分解的概念是数论的重要工具，本节我们将更进一步的考察这些想法。 假设n,m是整数，且m≠0。m整除n指n是m的倍数，即存在k使得n=km。如果m整除n，我们记作m|n。类似的如果m ∤\nmid∤n。整除n的都叫n的因数。 最大公因数 两个数a与b（全不为零）的最大公因数就是整除他们两个的最大值，记作gcd(a,b)gcd(a,b)gcd(a,b)，如果gcd(a,b)=1gcd(a,b)=1gcd(a,b)=1，我们称其为互素。最大公因数在数论的研究中最
找最大公因数练习题及答案精选.doc
09-25
除了最大公因数和公因数之外，质数和合数的理解也是学习数论不可或缺的一部分。在文档的第5题中，通过具体的问题引导学生探究质数和合数的性质，如：两个相邻的自然数的公因数是1，两个不同的质数之间不存在其他公...
初等数论--整除--线性组合与最大公因数之间的关系
qq_41545715的博客
10-21 2580
信息安全数学基础--整除--线性组合与最大公因数之间的关系 设a,b是两个不全为零的整数，则(a,b)=min设a,b是两个不全为零的整数，则(a,b)=min设a,b是两个不全为零的整数，则(a,b)=min{s:s=ax+by,∀x,y∈Z,s>0s:s=ax+by,{\forall}x,y\in Z,s>0s:s=ax+by,∀x,y∈Z,s>0} 证明：证明：证明： 由辗转相除法/欧几里得算法，我们可得(a,b)=at+bs,∃t,s∈Z,现在令d=at′+bs′,t′,s′∈Z,
六年级数学上册 1.5 公因数与最大公因数练习（无答案） 沪教版五四制 试题.doc
10-25
14. **数论中的整除性**：n能整除a+b，且n能整除a-b，那么n也能整除a（数论中的加减同余原理），题目中提到的条件n=(a^m-b^m)/(a-b)，若n是整数，则n是a和b的公因数，具体有多少个这样的n需要根据a和b的具体情况来...
最大公约数GCD学习笔记
weixin_33774615的博客
10-15 186
引理 已知：k|a,k|b 求证：k|(m*a+n*b) 证明：∵k|a 　　∴ 有p*k=a 　　同理可得q*k=b 　　∴ p*k*m=m*a,q*k*n=n*b 　　∴ k(p*m+q*n)=m*a+n*b 　　∴ k|(m*a+n*b) 条件：a,b均为正整数 求证：gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 证明：设m=gcd(a,b),n=gcd(b,a%b)...
整除性与最大公约数
RememberingC的博客
05-20 1381
整除的定义：设a是非零整数，b是整数。如果存在一个整数q，使得b=a*q，那么就说b可被a整除，记作，且称b是a的倍数，a是b的约数(因子)。 整除的一些性质： 1.如果且，那么。（如果a|b且b|c，则b=q*a，c=p*b；得c=p*q*a，所以a|c。） 2.且等价于对任意的整数x和y，有。 证明：设a|b且a|c，用整除的定义即b=q*a且c=p*a，对于任意整数x，y有q...
整除性与最大公因数（欧几里得算法）
qq_39378221的博客
05-06 1302
文章目录整除性与最大公因数1 基本概念2 一些求最大公因数的方法3 欧几里得算法3.1 一个例子3.2 形式化地表示3.3 证明3.4 定理（欧几里得算法）4 算法实现 整除性与最大公因数   参考资料：《数论概论》P19-P22 1 基本概念   设m,nm,nm,n是整数，m≠0m\ne 0m​=0。mmm整除nnn指：nnn是mmm的倍数，即存在整数kkk使得n=kmn=kmn=km。整除...
《数论概论》读书笔记 第5章 整除性与最大公因子数
LzyRapX
06-04 5744
这张就是最大公因子的一些概念和求gcdgcd。 高中必修三，就已经知道可以有“辗转相除法”和“更相减损术”等方法能够更快的求出两个数的最大公因数 讲述一些概念。 mm整除nn指nn是mm的倍数。 如果mm整除nn，我们记为m|nm | n。 如果mm不整除nn，则记为m∤nm\nmid n。 两个数aa和bb（不全为零）的最大公因数的最大公因数是整除它们两个的最大公因数，记为gcd(a,
【学习笔记】关于最大公约数(gcd)的定理
suncongbo's blog
10-04 2033
结论1 gcd⁡(xa−1,xb−1)=xgcd⁡(a,b)−1\gcd(x^a-1,x^b-1)=x^{\gcd(a,b)}-1gcd(xa−1,xb−1)=xgcd(a,b)−1 证明: 采用数学归纳法。 令a=kb+pa=kb+pa=kb+p, 则有gcd⁡(xa−1,xb−1)=gcd⁡(xkb+p−1,xb−1)=gcd⁡(xp(xkb−1)+xp−1,xb−1)=gcd⁡(xp−1,x...
欧几里得算法(即辗转相除法)的时间复杂度log(N)的简洁证明
justisme的博客
08-24 9657
本文对欧几里得算法运行时间复杂度进行了简洁证明。证明过程仅仅利用了余数的定义。结论是该算法的时间复杂度为O(logN)。
求一个数的最大公约数的三种思路——解题笔记
bigfacesafdasgfewgf
02-03 3300
求一个数的最大公约数的三种思路——解题笔记          编程之美上的题目：求一个数的最大公约数。     这道题目有三种解题思路，总结如下： 思路一：     直接使用辗转相除法，这个不多介绍，代码如下： // 直接辗转相除法 int gcd1(int a, int b) { for(int m = a%b; m != 0; m = a%b) {
求最大公因数的两种方法（高效方法）
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给定两个数，例如a=27,b=12a=27, b=12a=27,b=12，我们知道a, b的最大公因数为3。 下面将介绍两种求最大公因数的高效方法： （1）辗转相除法 辗转相除法有一个高大上的名字：欧几里得法。 下面模拟辗转相除法求a, b的最大公因数： Created with Raphaël 2.2.0开始a = 27, b = 12c = a%ba = b, b =cb=0？输出最大公因数...
数论概论读书笔记 23.二次互反律的证明
Feynman1999的博客
08-27 6076
二次互反律的证明 二次互反定律有三部分。 第一部分告诉我们−1−1-1何时是二次剩余；第二部分告诉我们222何时是二次剩余。 第三部分告诉我们：（精简一下） (pq)(qp)=(−1)p−12⋅q−12(pq)(qp)=(−1)p−12⋅q−12 \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdo...
数论概论读书笔记 22.二次互反律
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08-27 4650
二次互反律 对于一个给定的数aaa，我们要确定哪些素数ppp以aaa为二次剩余。在前一章中解决了a=−1a=−1a=-1和a=2a=2a=2时的问题。 这个时候我们可以通过查看p%mp%mp\%m的一些结果得出aaa是否是QRQRQR或NRNRNR，且mmm较小，为444和888 下面要解决的是其他aaa值的勒让德符号(ap)(ap)(\frac{a}{p})的计算问题。 例如，假设要计算...
扩展欧几里得算法求最大公因数的实现
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