平均排序

本文探讨了k排序的概念,包括1排序的意义、2排序的例子,并详细解释了一个数组被定义为k排序的具体条件。此外,还提供了几种高效的算法实现,包括在特定时间复杂度内完成排序的方法。

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8-5 平均排序

   假设我们不是要排序一个数组,而只是要求数组中的元素一般情况下都是层递增序的。更准确地说,称一个包含n个元素的数组A为k排序的(k-sorted),如果对所有i=1,2, ..., n-k,有下式成立:

                          

    a)给出一个数组是1排序的是什么意思?

    b)给出数字1,2, ..., 10的一个排列,它是2排序的,但不是完全排序的。

    c)证明:一个n元素的数组是k排序的,当且仅当对所有i=1,2, .... n-k 有 A[i] ≤ A[i+k]。

    d)给出一个算法,它能在O(nlg(n/k))时间内,对一个n元素的数组进行k排序。

    e)说明一个长度为n的k排序的数组可以在O(nlgk)内排序。

    f)说明当k是一个常量时,需要Θ(nlgn)时间来k排序一个n元素的数组。(提示:可以利用前一部分的结果及比较排序的下界)

 

   分析与解答:

   a)数组1排序时就和我们平常的排序一样了。

 

   b)2排序但不是全排序的例子:

        1  6  2  7  3  8  4  9  5  10

 

   c) 该推论非常容易得到,证明如下:

                         

 

                                                

 

   d)根据c)得到的结果,一个n元素的数组是k排序,当且仅当A[i] ≤ A[i+k]。也就是说,等价于

                         A[0] ≤ A[k] ≤ A[2k] ≤ A[3k] ....

                         A[1] ≤ A[k+1] ≤ A[2k+1] ≤ A[3k+1] ...

                         ..........

        根据上述观察,我们可以分成k个独立的分组,每个分组的大小为n/k进行排序即可。

        每个大小为n/k的分组进行排序的时间复杂度为O(n/k*lg(n/k)),那么k个分组总的时间复杂度为

                         k*O(n/k*lg(n/k)) =  O(nlg(n/k))

 

   e) 使用k个元素的最小堆,进行k路归并,每次提取最小值和增加一个新元素的时间复杂为O(lgk),总共需要n次提取最小值和增加新元素的操    作,   则对应的时间复杂度为O(nlgk)。

 

   f)因为可以采用O(nlg(n/k)时间内对一个n元素的数组进行k排序,则时间复杂度为O(nlg(n))

       以下用决策树得到k排序的下界:

       一个n元素的数组最后生成的可能k排序的数目为

                         

      那么,决策树的高度h满足

                         

     即时间复杂度为Ω(nlg(n))

     结合上面的结果以及基于比较的k排序的下界可知,当k是一个常量时,需要Θ(nlgn)时间来k排序一个n元素的数组。

要计算排序算法平均排序时长,可以通过多次运行算法,并计算运行时间的平均值来实现。 具体步骤如下: 1. 编写排序算法的代码,并用时钟函数(如 `clock()`)记录算法的运行时间。 2. 多次运行算法,记录每次运行的时间,并将这些时间相加。 3. 将总时间除以运行次数,得到算法平均排序时长。 下面是一个简单的示例程序,演示如何计算冒泡排序平均排序时长: ```c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <time.h> #define ARRAY_SIZE 1000 #define NUM_TRIALS 10 // 冒泡排序函数 void bubble_sort(int arr[], int size) { int i, j, temp; for (i = 0; i < size - 1; i++) { for (j = 0; j < size - i - 1; j++) { if (arr[j] > arr[j+1]) { temp = arr[j]; arr[j] = arr[j+1]; arr[j+1] = temp; } } } } int main() { int arr[ARRAY_SIZE]; int i, j; clock_t start_time, end_time; double total_time = 0.0, avg_time; // 用系统时间初始化随机数发生器 srand(time(NULL)); // 多次运行冒泡排序算法 for (i = 0; i < NUM_TRIALS; i++) { // 生成随机数 for (j = 0; j < ARRAY_SIZE; j++) { arr[j] = rand(); } // 记录开始时间 start_time = clock(); // 运行冒泡排序算法 bubble_sort(arr, ARRAY_SIZE); // 记录结束时间,并计算运行时间 end_time = clock(); total_time += (double)(end_time - start_time) / CLOCKS_PER_SEC; } // 计算平均排序时长 avg_time = total_time / NUM_TRIALS; printf("冒泡排序平均排序时长为 %.6f 秒\n", avg_time); return 0; } ``` 这个程序通过调用 `clock()` 函数来记录算法的运行时间,然后多次运行冒泡排序算法,并将每次运行的时间相加。最后,程序计算总时间除以运行次数,得到冒泡排序平均排序时长。
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