关于反演原理以及一个例子：二项式反演（世界上最垃圾的组合数学2）（坑）

前言

准备期末考就不做题了吧。。。

填一点坑。

反演原理

为了下文方便，我们定义一个函数$U_{i,j}=[i=j]$，其中$[q]$ 表示$q$成立时值为$1$，反之值为$0$。

首先我们有一个数列$a$，以及一个二元函数$f_{i,j}$，以及一个已经知道的数列$b$。

$a$的生成法则为：$a_i=\sum _{j=0}^i{f}_{i,j}{b}_j①$

那么假如我们直到了$a$，能不能通过类似得生成法则倒推回$b$呢（这也就意味着在这个生成法则上，任意一个$a$数列都对应着一个$b$数列，有点反函数的味道），这个过程就叫反演。

假定也有一个函数$g$。

那么$b_i=\sum _{j=0}^i{g}_{i,j}{a}_j②$

那么我们把$①$带入$②$中得：

$b_i=\sum _{j=0}^i{g}_{i,j}\sum _{k=0}^j{f}_{j,k}{b}_k$

$b_i=\sum _{j=0}^n{b}_j\sum _{k=j}^n{g}_{i,k}{f}_{k,j}③$

那么，一个比较明显的事情就是如果两边需要相等的话，那么需要：

$\sum _{k=j}^i{g}_{i,k}{f}_{k,j}=U_{i,j}$