关于反演原理以及一个例子:二项式反演(世界上最垃圾的组合数学2)(坑)

本文介绍了反演原理,通过数列a和b的生成法则,探讨了反演的充要条件,并提供了二项式反演的三个公式(公式1、公式2、公式3)的证明。此外,讨论了反演原理中两种条件的关系,以及它们在组合数学中的应用。

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前言

准备期末考就不做题了吧。。。

填一点坑。

反演原理

为了下文方便,我们定义一个函数 U i , j = [ i = j ] U_{i,j}=[i=j] Ui,j=[i=j],其中 [ q ] [q] [q] 表示 q q q成立时值为 1 1 1,反之值为 0 0 0

首先我们有一个数列 a a a,以及一个二元函数 f i , j f_{i,j} fi,j,以及一个已经知道的数列 b b b

a a a的生成法则为: a i = ∑ j = 0 i f i , j b j ① a_{i}=\sum\limits_{j=0}^{i}f_{i,j}b_{j}① ai=j=0ifi,jbj

那么假如我们直到了 a a a,能不能通过类似得生成法则倒推回 b b b呢(这也就意味着在这个生成法则上,任意一个 a a a数列都对应着一个 b b b数列,有点反函数的味道),这个过程就叫反演。

假定也有一个函数 g g g

那么 b i = ∑ j = 0 i g i , j a j ② b_{i}=\sum\limits_{j=0}^{i}g_{i,j}a_{j}② bi=j=0igi,jaj

那么我们把 ① ① 带入 ② ② 中得:

b i = ∑ j = 0 i g i , j ∑ k = 0 j f j , k b k b_{i}=\sum\limits_{j=0}^{i}g_{i,j}\sum\limits_{k=0}^jf_{j,k}b_{k} bi=j=0igi,jk=0jfj,kbk

b i = ∑ j = 0 n b j ∑ k = j n g i , k f k , j ③ b_{i}=\sum\limits_{j=0}^{n}b_{j}\sum\limits_{k=j}^{n}g_{i,k}f_{k,j}③ bi=j=0nbjk=jngi,kfk,j

那么,一个比较明显的事情就是如果两边需要相等的话,那么需要:

∑ k = j i g i , k f k , j = U i , j \sum\limits_{k=j}^ig_{i,k}f_{k,j}=U_{i,j} k=jigi,kfk,j=Ui,j

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