区间中位数的高效计算方法-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/zhangjianjunab/article/details/102710596

这篇博客探讨了如何高效地求解长度为n（n≤2000）序列的所有区间的中位数。首先对序列进行排序并转换为链表，然后通过动态维护中位数，在确定左边界l后，自右向左查找合适范围的中位数。在删除元素和更新链表的过程中，可以实现O(1)的时间复杂度。代码来源于HYY大神，其思路避免了数组拷贝，降低了时间复杂度。

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参考文献

洛谷某讨论https://www.luogu.org/discuss/show/158501?page=2

题意

对于一串长度为 $n (n < = 2000)$ 的序列，对于所有的 $i, j (1 < = i < = n, i < = j < = n)$ 区间，求出他们的中位数。

题解

这个ider先在这里占坑吧，毕竟感觉这个思路挺好的。

我们可以一开始把整个序列排序，然后对排序后的数组链表化，并且求出每个点在链表中的下标。

那么对于固定的 $l$ ，我们的 $r$ 从大到小查找，我们对于 $[l, n]$ 暴力在链表找中位数，然后对于 $[l, n - 1]$ 我们可以把 $n$ 在链表中删掉，然后看看中位数向左还是向右，这个是 $O (1)$ 的。

然后我们可以 $O (1)$ 将 $[l, n]$ 的排序链表推到 $[l + 1, n]$ 的排序链表，不过我们需要拷贝数组，为 $O (n)$ ，当然我朋友的代码是递归实现，所以不用拷贝。

代码来自HYY大神的，当然也是他最先提出这个问题。

注意：至于偶数的中位数，貌似这位神犇的代码是取左边的那个数字

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2005;
int a[N],p[N],l[N],r[N],w[N];
bool cmp(int x,int y){return a[x]<a[y];}
int f[N][N];
void dfs(int i,int k,bool bk,int now)
{
    if(i<=k)
    {
        int j=w[k];//printf("%d\n",j);
        if(bk){if(j<=now)now=r[now];}
        else{if(j>=now)now=l[now];}
        int r1=r[l[j]],l1=l[r[j]];//tmp
        r[l[j]]=r[j];l[r[j]]=l[j];
        f[i][k-1]=a[p[now]];
        dfs(i,k-1,bk^1,now/*目前中位数的位置*/);
        r[l[j]]=r1;l[r[j]]=l1;
    }
}
void make(int n)
{
    bool bk;
    if(n&1)bk=false;//奇数为false
    else bk=true;
    int now=(n+1)/2;
    f[1][n]=a[p[now]];dfs(1,n,bk,now);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int j=w[i];//printf("%d\n",j);
        if(bk){if(j<=now)now=r[now];}
        else{if(j>=now)now=l[now];}
        r[l[j]]=r[j];l[r[j]]=l[j];bk^=1/*奇偶性质*/;//删数
        f[i+1][n]=a[p[now]];
        dfs(i+1,n,bk,now);//处理中位数
    }
}
int main()
{
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=i;
    sort(p+1,p+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)w[p[i]]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)l[i]=i-1,r[i]=i+1;
    make(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=i;j<n;j++)printf("%d ",f[i][j]);
        printf("%d\n",f[i][n]);
    }
    return 0;
}