CF1519D Maximum Sum of Products

本文介绍了一种解决特定序列翻转问题的算法,通过动态规划的方法,在O(n²)的时间复杂度内找到两个序列翻转后的最大乘积和。

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题目大意

给定两个序列 a a a b b b。你可以对 a a a 的一段区间翻转,也可以不翻转,要求翻转后 a a a b b b 对应位置之积的和最大。即求下式的值最大:
∑ i = 1 n a i × b j \sum_{i=1}^na_i\times b_j i=1nai×bj

Solution

首先看到 n ≤ 5000 n\le 5000 n5000,想到 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 做法。

可以设 d p i , j dp_{i,j} dpi,j 表示 a a a 翻转 i ∼ j i\sim j ij 这段区间内的元素后,表达式的值是多少。那我们可以很容易得出扩展区间的转移式:

d p i , j = d p i + 1 , j − 1 − a i × b i − a j × b j + a i × b j + a j × b i dp_{i,j}=dp_{i+1,j-1}-a_i\times b_i-a_j\times b_j+a_i\times b_j+a_j\times b_i dpi,j=dpi+1,j1ai×biaj×bj+ai×bj+aj×bi

这比较好理解,就是左右各向外一格,就会导致最两端的元素互换,就可以用上述方式递推。

所以我们可以枚举左右端点求解。最后再 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 找最大值就可以了。

复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN=5010;
ll a[MAXN],b[MAXN];
ll dp[MAXN][MAXN];
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
	ll t=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&b[i]),t+=a[i]*b[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][i]=t,dp[i+1][i]=t;//初始化
	for(int len=2;len<=n;len++){
		for(int i=1;i+len-1<=n;i++){
			int j=i+len-1;
			dp[i][j]=dp[i+1][j-1]-a[i]*b[i]-a[j]*b[j]+a[i]*b[j]+a[j]*b[i];
		}//类似区间 dp 的做法
	}
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i;j<=n;j++)
			ans=max(ans,dp[i][j]);
	}printf("%lld\n",ans);
}
//
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