题目大意
给定两个序列
a
a
a 和
b
b
b。你可以对
a
a
a 的一段区间翻转,也可以不翻转,要求翻转后
a
a
a 与
b
b
b 对应位置之积的和最大。即求下式的值最大:
∑
i
=
1
n
a
i
×
b
j
\sum_{i=1}^na_i\times b_j
i=1∑nai×bj
Solution
首先看到 n ≤ 5000 n\le 5000 n≤5000,想到 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 做法。
可以设 d p i , j dp_{i,j} dpi,j 表示 a a a 翻转 i ∼ j i\sim j i∼j 这段区间内的元素后,表达式的值是多少。那我们可以很容易得出扩展区间的转移式:
d p i , j = d p i + 1 , j − 1 − a i × b i − a j × b j + a i × b j + a j × b i dp_{i,j}=dp_{i+1,j-1}-a_i\times b_i-a_j\times b_j+a_i\times b_j+a_j\times b_i dpi,j=dpi+1,j−1−ai×bi−aj×bj+ai×bj+aj×bi
这比较好理解,就是左右各向外一格,就会导致最两端的元素互换,就可以用上述方式递推。
所以我们可以枚举左右端点求解。最后再 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 找最大值就可以了。
复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN=5010;
ll a[MAXN],b[MAXN];
ll dp[MAXN][MAXN];
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
ll t=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&b[i]),t+=a[i]*b[i];
for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][i]=t,dp[i+1][i]=t;//初始化
for(int len=2;len<=n;len++){
for(int i=1;i+len-1<=n;i++){
int j=i+len-1;
dp[i][j]=dp[i+1][j-1]-a[i]*b[i]-a[j]*b[j]+a[i]*b[j]+a[j]*b[i];
}//类似区间 dp 的做法
}
ll ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i;j<=n;j++)
ans=max(ans,dp[i][j]);
}printf("%lld\n",ans);
}
//