CF1519D Maximum Sum of Products_京用里cf1519-优快云博客

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本文介绍了一种解决特定序列翻转问题的算法，通过动态规划的方法，在O(n²)的时间复杂度内找到两个序列翻转后的最大乘积和。

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题目大意

给定两个序列 $a$ 和 $b$ 。你可以对 $a$ 的一段区间翻转，也可以不翻转，要求翻转后 $a$ 与 $b$ 对应位置之积的和最大。即求下式的值最大：
$\sum_{i=1}^na_i\times b_j$

Solution

首先看到 $n\le 5000$ ，想到 $O(n^2)$ 做法。

可以设 $dp_{i,j}$ 表示 $a$ 翻转 $i\sim j$ 这段区间内的元素后，表达式的值是多少。那我们可以很容易得出扩展区间的转移式：

$dp_{i,j}=dp_{i+1,j-1}-a_i\times b_i-a_j\times b_j+a_i\times b_j+a_j\times b_i$

这比较好理解，就是左右各向外一格，就会导致最两端的元素互换，就可以用上述方式递推。

所以我们可以枚举左右端点求解。最后再 $O(n^2)$ 找最大值就可以了。

复杂度 $O(n^2)$ 。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN=5010;
ll a[MAXN],b[MAXN];
ll dp[MAXN][MAXN];
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
	ll t=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&b[i]),t+=a[i]*b[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][i]=t,dp[i+1][i]=t;//初始化
	for(int len=2;len<=n;len++){
		for(int i=1;i+len-1<=n;i++){
			int j=i+len-1;
			dp[i][j]=dp[i+1][j-1]-a[i]*b[i]-a[j]*b[j]+a[i]*b[j]+a[j]*b[i];
		}//类似区间 dp 的做法
	}
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i;j<=n;j++)
			ans=max(ans,dp[i][j]);
	}printf("%lld\n",ans);
}
//