2020牛客NOIP赛前集训提高组#2-A-GCD(数论，素数筛)

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/zhangchizc/article/details/109206760

本文介绍了一个关于质因数与最大公约数(GCD)的算法问题及其解决方案。通过筛选质数并枚举它们的次幂来计算特定范围内整数的所有因子的GCD值，最终给出了一段高效的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

在这里插入图片描述

样例

input:
5 7
output:
13

分析

分析式子 $f (x) = g c d (所有因子)$
如果 $x$ 不是由一个数的次幂得到的，那么 $x$ 肯定有2个以上的质因子，所以这些因子的 $g c d$ 就是1。
而对于 $x=p^i$ ，则 $g c d$ 为 $p$ 。

由此，可以得到一个大胆的想法，先将ans定为 $b - a + 1$ 。枚举数的次幂，如果是在 $a, b$ 之间的，那么就把答案更新，即原来是1，那么要把1改成p，最后对 $a n s$ 的影响就是 $a n s = a n s - 1 + p$ 。

注意：1、要开long long!!!
$\qquad\,\,$ 2、只要枚举素数的次幂，因此要素数筛。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN=1e7+10;
ll pr[MAXN];
int p[MAXN],cnt=0;
int main()
{
	ll a,b;
	memset(p,0,sizeof(p));
	for(ll i=2;i<=1e7;i++){
		if(!p[i]){
			for(ll j=i*2;j<=1e7;j+=i) p[j]=1;
			pr[++cnt]=i;
		}
	}//筛
	scanf("%lld%lld",&a,&b);
	ll ans=b-a+1ll;
	for(ll i=1;i<=cnt;i++){
		for(ll j=pr[i];j<=b;j*=pr[i]){//枚举b以内的次幂
			if(j>=a) ans=ans-1ll+pr[i];//若在区间内，则更新答案
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
}
//4729362 9152241
//1946482123177
//大样例

END

要开long long!!!