2020牛客暑期多校训练营Identical Trees(树形dp,KM算法)

这篇博客探讨了Identical Trees问题,涉及树形动态规划(dp)和KM算法。作者通过题目描述和样例展示了问题背景,并详细分析了如何利用树形dp解决此问题。在遇到子节点顺序不敏感的情况时,原有的dp方法无法适用。接着,引入KM算法来解决二分图带权匹配问题,实现求解最小操作次数。文章提供了KM算法的使用关键点,并强调了在数据规模较小的情况下,KM算法效率优于DFS。

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Identical Trees

题目描述

在这里插入图片描述

样例

input:
3
0 1 1
3 3 0
output:
2

题目大意

给定同构两棵树(即形状一样,保证有解),现在你可以将第一棵树中的任意一个节点编号改成任意一个数。现问最少需要多少次操作才能将第一棵树改成与第二棵树相同。
相同的要求是对于每个节点其父节点相同,但是对于一个节点其子节点的顺序可以不一样。

分析

这题比赛的时候乱做搞了一个树形 d p dp dp,然后 W A WA WA得不成样子,蒙了半天。

当然这题确实是树形 d p dp dp,因为我们可以只考虑一棵树的子树,然后求出答案之后对其他子树没有影响,即无后效性,所以采用 d p dp dp
两个问题:

  • 怎么dp,即怎么找出答案, d p dp dp的定义怎么写。
  • 怎么处理子节点顺序可以不同的要求。即由于无关于子节点的顺序,那就比较难搞了。因为我不同的匹配可能导致最后的答案不同。

树形dp

首先我们定义 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]表示在树一中将 i i i节点的子树改成和树二中的 j j j的子树相同1的最少操作次数。

那么为什么会想到这么写。因为题目的数据只有 500 500 500,显然 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)
所以很容易可以想到(伪代码):
d f s ( i n t   p 1 , i n t   p 2 ) dfs(int\,p1,int\,p2) dfs(intp1,intp2)
i f ( p 1 ≠ p 2 )    d p [ p 1 ] [ p 2 ] = 1 ; \qquad if(p1\not =p2)\,\,dp[p1][p2]=1; if(p1=p2)dp[p1][p2]=1;
… \qquad\dots
f o r ( i n t   i − > s o n   o f   t r e e 1 ) \qquad for(int\,i->son\,of\,tree1) for(int

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