2020牛客暑期多校训练营Decrement on the Tree(图论，set)

Decrement on the Tree

题目描述

样例

input:
5 3
1 2 3
1 3 4
2 4 5
3 5 6
1 10
2 10
3 10
output:
8
12
10
10

题目大意

给你一棵树，现在你可以选择其中的一条链，将其边上的权值都减一。并且每条边的权值不能为负数。要求最少要删除多少次(每次只能减一)，才能使得整棵树的权值都是0。(只需要输出答案，而不是修改)
并且，在给出答案之后，会有$q$次修改，将某一条边的权值改成另一个，这时你要再一次输出答案。

分析

首先看到题目有一种树剖的感觉，但是显然，求答案时无法很好地用树剖解决。

所以这题应该是要维护每条边的权值。我们不妨思考一下求答案的过程实际是什么。实际就是找最少的链将树覆盖，然后每条边的重叠次数都有限制。
由于每条链唯一地由两个端点决定，所以，我们不妨考虑一下一棵树被覆盖后的链的端点处在那些节点上。

如图，我已经将覆盖所用的链用不同的颜色标出。可以发现：

• 如果出现图三的情况，即一个点相连的边的权值中$Max$大于其他边的和，那么其他边可以通过$Max$通向其他的节点作为终点，而$Max$减去其他边总和数量的链只有将这个点作为端点了。这样，以这个点为端点个数就是$Max-Others$。
• 如果图二的情况，即没有一条边是大于其他边权和(虽然上图也是，但是请假装2不大于1:))，那么就要考虑欧拉回路的知识，如果是奇数，那么肯定有一个端点，如果是图一一样的偶数，那么可以做到这个点上没有端点。

那么用上述的方法可以求得整棵树上的端点个数，那么除以2就是链的个数了。

然后考虑修改的操作，我们只要维护一个 m u l t i s e t multiset