2020牛客暑期多校训练营Binary Vector(线性独立，递推，乘法逆元)

Binary Vector

题目描述

输入描述:

输出描述:

示例1

输入

3
1
2
3

输出

500000004
194473671
861464136

说明

题目大意

给你一个$n$，并在$n$维度里有一些向量，这些向量的每一维都是由$0,1$构成的。现在，每一天都取一个向量，求$n$天中，取到的所有向量都是线性独立的的概率$f(n)$是多少。
题目要求输出$f(1)\oplus f(2)\oplus f(3)...\oplus f(n)$的值$mod1e9+7$。

分析

首先理解下什么叫做线性独立。说白了，就是说任意一个向量都不能通过其他向量的加减得到，那么也就是说，每个向量都不共面。

起初，考虑每个维度最多有多少01向量。很容易可以发现，一维只有向量(0)和(1)，二维有(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)，三维就有8个……$n$维就有$2^n$个01向量。

考虑选取$i$个向量
首先，我们从$i=1$的简单情况开始考虑。在一根一维的线中，也就是数轴，对于向量$\vec{a}$，只有$\vec{0}$和$\vec{a}$本身不是与$\vec{a}$线性独立的
据此，考虑$i=2$，在平面中，如果选了$\vec{a},\vec{b}$，那么除了它们本身和$\vec{0}$以外，还有$\vec{a}+\vec{b}$也是不与$\vec{a},\vec{b}$线性独立的。有$4$个。
同样的，当$i=3$时，就有$8$个不与选出来的3个向量独立。
$⋮$
可以推断，对于$i$，有$2^i$个向量是不与选得的向量独立的。

那么，如果在一个$n$维度的空间里，选取$i$个向量有共面的概率是$\frac{2^i}{2^n}$。所以不共面也就是都是线性独立的概率是$\frac{2^n-2^i}{2^n}$。
因此有
$f(n)=\prod _{i=1}^n\frac{2^n-2^i}{2^n}$
$=\prod _{i=1}^n\frac{2^{n-i}-2^0}{2^{n-i}}$
$=\prod _{i=1}^n\frac{2^i-1}{2^i}$
于是$f(n)$就可以通过$f(i)$递推过来。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN=2e7;
const int mod=1e9+7;
int T,n,mul[MAXN],inv[MAXN],ans[MAXN];
int ksm(int a,int b){
    int r=1;
    while(b){
		if(b&1) r=1ll*r*a%mod;
		a=1ll*a*a%mod;b>>=1;
	}return r;
}//逆元标配
int main()
{
    mul[0]=1;
    for(int i=1;i<=MAXN;i++) mul[i]=2ll*mul[i-1]%mod;
    inv[MAXN]=ksm(mul[MAXN],mod-2);//先用费小求inv
    for(int i=MAXN-1;i>0;i--) inv[i]=2ll*inv[i+1]%mod;//然后递推求inv
    int x=inv[1];ans[1]=inv[1];
    for(int i=2;i<=N;i++)
		x=1ll*x*(mul[i]-1)%mod*inv[i]%mod,//递推求答案
		ans[i]=ans[i-1]^x;//XOR后输出，打表完毕
    scanf("%d",&T);
    while(T--) scanf("%d",&n),printf("%d\n",ans[n]);
}

END

队友肝的，%%%。