洛谷 P3903 导弹拦截III 题解

洛谷P3903导弹拦截III题解

原创于 2025-08-20 18:01:43 发布 · 864 阅读

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#算法 #c++

今天做题的时候看到了一个经典题型的衍生题目
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P3903 导弹拦截III

题目描述

很多年以前，A 国发明了一种导弹系统用来拦截敌对势力发射的导弹。

这个系统可以发射一颗导弹拦截从由到远、高度不增加的多个导弹。

但是现在，科学家们发现这个防御系统还不够强大，所以他们发明了另外一套导弹系统。

这个新系统可以发射一颗导弹由近到远的拦截更多的导弹。

当这个系统启动，首先选择一颗敌人的导弹进行拦截，然后拦截一颗更远的高度更低的导弹进行拦截，然后拦截比第二颗更远的但高度更高的导弹……以此类推，拦截的第奇数颗导弹比前一颗导弹更远、更高，拦截的第偶数颗导弹比前一个更远、更低。

现在，给你一个从近到远的导弹高度列表，计算新系统发射一颗导弹可以拦截的最多的导弹数目。

输入格式

第一行是一个整数 $n$ ，表示敌人发射的导弹数目。接下来的一行有 $n$ 个整数，表示由近到远的。

输出格式

仅一个整数，表示拦截的最多导弹的数量。

输入输出样例 #1

输入 #1

4
5 3 2 4

输出 #1

说明/提示

$1\leq n\leq 10^3$ ， $1\leq$ 导弹高度 $\leq 10^9$ 。

题目分析

这道题的意思是让我们求一个最长的震荡子序列
那什么是震荡序列呢？

众所周知，递增序列与递减序列我们都知道，就是数组内元素不断递增/递减，
而震荡序列则是把递增序列与递减序列结合的序列，震荡序列的元素大小总是一大一小（或一小一大）交替循环。
这么说可能还是不那么清楚，那我们来看样例：
样例给的数组是 [5,3,2,4] ，输出是3，代表着这个数组的最长震荡子序列的长度为3
那究竟是哪3个呢，没错，就是[5,2,4]和[3,2,4]，相信细心的人已经发现了，这两个数组里面的元素都是以：大一小一大的形式出现的，这就是震荡序列。

最长上升子序列以及最长下降子序列

但凡学习过dp，就肯定知道最长上升子序列以及最长下降子序列两个模板题
它们的模板长这样：

//最长上升子序列
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 1e3+5;
int n;
int a[maxn];
int dp[maxn];
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        dp[i]=1; 
    }
    
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<i;j++){
             if(a[j]<a[i]){
                  dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
              }
        }
    }
    cout<<dp[n];

    return 0;
}

//最长下降子序列
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 1e3+5;
int n;
int a[maxn];
int dp[maxn];
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        dp[i]=1; 
    }
    
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<i;j++){
             if(a[j]>a[i]){
                  dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
              }
        }
    }
    cout<<dp[n];

    return 0;
}

于是我们只需要将这两个代码结合起来，便能得到：

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 1e3+5;
int n;
int a[maxn];
int dp[maxn]; //dp[i]表示第i个导弹前最优方案的拦截导弹数量
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        dp[i]=1; //每个导弹都最少能拦截1次
    }
    
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<i;j++){
            if((dp[j]+1)%2==0){  //奇偶判断
                if(a[j]>a[i]){ //如果是第偶数个，就判断是否比前一个低
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
                }
            }
            else{ 
                if(a[j]<a[i]){ //否则就是第奇数个，判断是否比前一个高
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
                }
            }
        }
    }
    cout<<dp[n];

    return 0;
}