洛谷 P2842 纸币问题1 题解

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P2842 纸币问题 1

题目描述

某国有 $n$ 种纸币，每种纸币面额为 $a_i$ 并且有无限张，现在要凑出 $w$ 的金额，试问最少用多少张纸币可以凑出来？（保证可以凑出对应金额）

输入格式

第一行两个整数 $n,w$，分别表示纸币的种数和要凑出的金额。
第二行一行 $n$ 个以空格隔开的整数 $a_1,a_2,a_3,\dots a_n$ 依次表示这 $n$ 种纸币的面额。

输出格式

一行一个整数，表示最少使用的纸币张数。

输入输出样例 #1

输入 #1

6 15
1 5 10 20 50 100

输出 #1

2

输入输出样例 #2

输入 #2

3 15
1 5 11

输出 #2

3

说明/提示

对于 $40\%$ 的数据，满足 $n\le 10$，$w\le 100$；
对于 $100\%$ 的数据，满足 $1\le n\le 10^3$，$1\le a_i,w\le 10^4$。

很显然，这道题得用dp
那么先来定义一个状态，在这道题里，要求的是用最少纸币数凑出w，所以状态需要表示出最终答案，那么状态就是：$dp[i]$为用给定面值凑出 i 的最少纸币数

状态转移方程

有了状态，就要来推状态转移方程
很显然，$dp[i]$只跟$dp[i-a[j]]$有关（a[j]为给定面值中的任意一个面值）
因为要凑出 i 这个面值，肯定要用给定面值凑出来，那么只需要用 i 减去一个给定面值后的面值的最少纸币数，再加一张减掉的面值的纸币，就能得到 i 的最少纸币数的一种情况，再对这些情况取个最小的，就是答案
（有点乱，不好意思尽力了）

所以，状态转移方程就为： $dp[i]=min(dp[i-a[j]]+1,dp[i])$

程序实现

好了，状态和状态转移方程都有了，万事俱备，只欠代码！

#include <iostream>
#include <string.h> //memset初始化函数头文件
using namespace std;
int n,w;
int a[1005];
int dp[10005];  //dp[i]为用给定面值凑出i的最少纸币数
int main(){
    cin>>n>>w;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));  //初始化为无穷大
    dp[0]=0;   //凑出0面值不需要纸币
    for(int i=1;i<=w;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i-a[j]>=0){   //防止下标为负数
                dp[i]=min(dp[i-a[j]]+1,dp[i]);  //状态转移方程
            }
        }
    }
    cout<<dp[w];  //输出题目要求答案

    return 0;
}

亲测可AC~