Peter算法小课堂—DP背包问题

大家好，我是Peter，我又来啦🎈🎄✨

🎈🧨🎉《动态规划》专栏来啦，目前为止，此专栏已经有四篇文章啦🎁🎀🎄

1.DP概念与编程方法    DP概念和编程方法-优快云博客

2.Peter算法小课堂—经典线性DP问题（上）Peter算法小课堂—经典线性DP问题(上）-优快云博客

3.Peter算法小课堂—经典线性DP问题（下）Peter算法小课堂—经典线性DP问题（下）-优快云博客

4.Peter算法小课堂—DP的应用    Peter算法小课堂—DP的应用-优快云博客

01背包

题目：小偷来你家，他带的包只能装c斤的财务。你家有n种财务，分别重w1、w2......wn斤，价值分别为v1、v2......，请输出能拿走的最大总价值？

状态定义

f[i][j]：用前i个物品，每个物品只能选或不选，满足重量和小于等于j的所有选法中，价值最高的那个方案

答案：f[n][c]

状态转移方程

首先，我们分两种情况讨论：1.选i   2.不选i

1。 此时我们重量和会变小w[i]，但是价值会增加v[i]，f[i][j]=f[i-1][j-w[i]]+v[i]

2。 此时物品数减1，f[i][j]=f[i-1][j]

最后，再取最大值，得到状态转移方程：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i])

代码

for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i]>>v[i];
for(int i=1;i<=n;++i){
	for(int j=1;j<=c;++j){
		if(w[i]>j) f[i][j]=f[i-1][j];
		else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);
	}
}
cout<<f[n][c]<<endl;

咱再来开个滚动哈，这题完美解决

for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i]>>v[i];
for(int i=1;i<=n;++i){
	for(int j=c;j>=1;--j){
		f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
	}
}
cout<<f[c]<<endl;

我们看到，这个for循环里的i出现了2次，因此我们可以把w[i]写成w、v[i]写成v，这题再次完美解决

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXC=2009;
int n,c,w,v,f[MAXC];
int main(){
	cin>>c>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>w>>v;
		for(int j=c;j>=w;j--)
			f[j]=max(f[j],f[j-w]+v);
	}
	cout<<f[c]<<endl;
	return 0;
}

 完全背包

题目：小偷来你家，他带的包只能装c斤的财务。你家有n种财务，每种数量无限多，分别重w1、w2......wn斤，价值分别为v1、v2......，请输出能拿走的最大总价值？

状态定义

f[i][j]：前i种物品，每个物品可以选0、1、2......，满足重量和小于等于j的所有选法中，价值最高为多少？

答案：f[n][c]

代码

cin>>c>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
	cin>>w>>v;
	for(int j=w;j<=c;j++)
		f[j]=max(f[j],f[j-w]+v);
}
cout<<f[c]<<endl;

具体原因自行思考

希望这些对大家有帮助，粉丝破20更哦💟