1. 正定矩阵的判定标准
目前我们有 5 种方法判断矩阵是否为正定矩阵：
- 所有的特征值大于零： λ i > 0 \lambda_i>0 λi>0
- 对于所有的非零向量x，能量方程大于零, x T S x > 0 x^TSx>0 xTSx>0
- S = A T A S=A^TA S=ATA，当矩阵A列满秩
- 所有的顺序主子式均大于零, D i > 0 D_i>0 Di>0
- 所有的主元均大于零, P i v o t i > 0 Pivot_i>0 Pivoti>0
2. 非正定矩阵
- 假设我们有一个矩阵S，判断其是否为正定矩阵
S = [ 3 4 4 5 ] → ∣ S ∣ = − 1 → S 非正定矩阵 \begin{equation} S=\begin{bmatrix} 3&4\\\\ 4&5 \end{bmatrix}\rightarrow |S|=-1\rightarrow S非正定矩阵 \end{equation} S= 3445 →∣S∣=−1→S非正定矩阵 - 假设我们有一个矩阵S，判断其是否为正定矩阵
S = [ 3 4 4 16 3 ] → ∣ S ∣ = 0 → S 为半正定矩阵 \begin{equation} S=\begin{bmatrix} 3&4\\\\ 4&\frac{16}{3} \end{bmatrix}\rightarrow |S|=0\rightarrow S 为半正定矩阵 \end{equation} S= 344316 →∣S∣=0→S为半正定矩阵
3. 能量方程
假设我们有如下能量方程，绘出其图像：
S = f ( x , y ) = [ x y ] [ 3 4 4 6 ] [ x y ] = 3 x 2 + 8 x y + 6 y 2 \begin{equation} S=f(x,y)=\begin{bmatrix} x&y \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3&4\\\\ 4&6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\\\y \end{bmatrix}=3x^2+8xy+6y^2 \end{equation} S=f(x,y)=[xy]
3446
xy
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