【线性代数】理解特征值和特征向量

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#线性代数 #矩阵

于 2022-05-25 20:30:56 首次发布

本文通过通俗易懂的方式介绍了特征值与特征向量的基本概念及其数学意义，并从变换和计算的角度深入探讨了它们的应用价值，特别是对于矩阵分析的重要性。

1 前言

内容为自己的学习总结，其中多有借鉴他人的地方，最后一并给出链接。如果影响了相关作者，请私信我，我会加以修改。

2 通俗解释

定义：对于任意可逆方阵，存在一个向量，用该矩阵乘以该向量后，向量的大小发生变化而方向不变。也就是说，对于 $n \times n$ 矩阵 $M$ ，存在一个非 $0$ 的 $n$ 维向量 $V_1,V_2,......V_n$ 使下式成立：
$MV_i=\lambda_iV_i$
其中，比例系数 $\lambda_i$ 成为矩阵 $M$ 的特征值，向量 $V_i$ 成为该特征值对应的特征向量。
对于一个可逆方阵可以存在一组特征值与特征向量。将上面的公式简化之后为：
$Ax=\lambda x$
其中 $A$ 是矩阵 $x$ 值特征向量 $\lambda$ 是特征值。特征值是一个数字，而向量的 $\lambda x$ 数乘本质上是向量的缩放。如 $\lambda =2$ ， $x=[2, 3]^T$ ，则 $\lambda x =[4, 6]^T$ 。变换后与原向量相比向量 $x$ 的大小变为原来的两倍而方向没有发生变化。再由于上面的二式左右相等，因此矩阵乘以一个向量的效果是让该向量进行了一个方向不变的伸缩。【参考文献1】
所以特征值和特征向量的通俗解释是:

矩阵是一个向量的变换方式。
特征向量就是该向量经过某一矩阵变换之后其方向不变的向量。
特征值 $\lambda$ 是一个伸缩倍数。

这里再补充一下特征值和特征向量的性质：
特征值： $A$ 是 $n$ 阶矩阵 $\lambda_1 ,\lambda_2, \lambda_3......\lambda_n$ 是 $A$ 的 $n$ 个特征值则有：
$\sum_i^n \lambda _i = \lambda_1 + \lambda_2+ \lambda_3+......+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+a_{33}+......+a_{nn}=tr(A)\\ \prod_{i=1}^{n}\lambda_1 \lambda_2......\lambda_n=|A|$