[分块] 分块入门1~4

何为分块

在学习完线段树和树状数组后，这两种数据结构已经能够解决大部分的问题了，但在使用过程中不难发现他们的缺点

• 树状数组$O((N+M)logN)$：局限性过大，不易扩展到普遍性题目
• 线段树$O((N+M)logN)$：虽然能够扩展到许多题目，其也有许多类型，但不够直观，并且代码长,细节多…

分块应运而生

分块的基本思想是通过适当的划分，预处理一部分信息并保存下来，用空间换取时间，达到"时空平衡" ———《算法竞赛》

说得通俗一点，就是依据某种方法优化的暴力算法，相比线段树和树状数组，分块思路更简单，且更通用，代码容易实现。

分块的基本过程

分块，分块，顾名思义，是将一个序列分成若干段来进行操作。

通常将一个序列A分成若干个不超过$\lfloor \sqrt{N}\rfloor$的段，其中第i段的左端点为$(i-1)\lfloor \sqrt{N}\rfloor +1$,右端点为$min(i\ast \lfloor \sqrt{N}\rfloor ,N)$

如下图所示：

剩下的就是根据题目要求在不同的段上进行操作

时间复杂度

因为段数以及段长都是$O(\sqrt{N})$所以整个算法的时间复杂度约为$O((N+M)\ast \sqrt{N})$。

例题

分块入门1

按照上面的方法将序列分块，在每次执行加操作时用add表示某一段的“增量标记”，也就是这一段整体所加的值。

对于某一个区间加操作(l,r,c)：

• 若l,r在同一区间内，则直接令$a[l]$~$a[r]$全部加上c.
• 若他们不在同一区间：则令l~r之间的整块i,add[i]加上c,那么开头和结尾不为整块的部分像第一步一样直接加。

最后在询问某个数的值时，注意加上add数组中的值。

当然你也可以写一个区间加，区间求和一下水两道题

分块入门2

老样子对序列进行分块，预处理将每一块进行排序，在查询是二分查找

分块入门3

于第二题相同，将二分改为查询小于某个数的最大值即可。

分块入门4

出现了，野生的区间加！

预处理出数组sum，记录某一段i的区间和sum[i]，以及增量数组add，add数组的操作如题1，下面详细讲解sum数组的具体操作：

• 对于某一整段i，$sum[i]+=(r[i]-l[i]+1)\ast c$
• 若不是一个整段，则$sum[i]+=(l[i+1]-L)\ast c$或$sum[i]+=(R-r[i-1])\ast c$

最后答案为

• 若在一整段内$ans=sum[i]+add[i]\ast (r[i]-l[i])$
• 否则用暴力直接算出不满整段的两部分(最多为$\sqrt{N}$)。

code

//分块入门 4
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=50086;
int n,a[N],l[N],r[N],pos[N];
LL sum[N],add[N];
void change(int ll,int rr,LL d)
{
	int p=pos[ll],q=pos[rr];
	if(p==q)
	{
		for(int i=ll;i<=rr;i++)
		{
			a[i]+=d;
		}
		sum[p]+=d*(rr-ll+1);
	}
	else {
		for(int i=p+1;i<=q-1;i++) add[i]+=d;
		for(int i=ll;i<=r[p];i++) a[i]+=d;
		sum[p]+=d*(r[p]-ll+1);
		for(int i=l[q];i<=rr;i++) a[i]+=d;
		sum[q]+=d*(rr-l[q]+1);
	}
}
LL ask(int ll,int rr)
{
	int p=pos[ll],q=pos[rr];
	LL ans=0;
	if(p==q)
	{
		for(int i=ll;i<=rr;i++) ans+=a[i];
		ans+=add[p]*(rr-ll+1);
	}
	else {
		for(int i=p+1;i<=q-1;i++)
		{
			ans+=sum[i]+add[i]*(r[i]-l[i]+1);
		}
		for(int i=ll;i<=r[p];i++) ans+=a[i];
		ans+=add[p]*(r[p]-ll+1);
		for(int i=l[q];i<=rr;i++) ans+=a[i];
		ans+=add[q]*(rr-l[q]+1);
	}
	return ans;
}
int main()
{
 	freopen("a.in","r",stdin);
	freopen("a.out","w",stdout);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}	
	int t=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		l[i]=(i-1)*t+1;
		r[i]=i*t;
	}
	if(r[t]<n) t++,l[t]=r[t-1]+1,r[t]=n;
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		for(int j=l[i];j<=r[i];j++)
		{
			pos[j]=i;
			sum[i]+=a[j];
		}
	} 
	int m=n;
	while(m--)
	{
		int pd,ll,rr,c;
		cin>>pd>>ll>>rr>>c;
		if(pd==1)
		{
			cout<<ask(ll,rr)%(c+1)<<endl;
		}
		else 
		{
			change(ll,rr,c);
		}
	}
	return 0;
}

莫队相关

关于对询问的排序

bool cmp(node a,node b)
{
	int xd = (a.l - 1)/kuai + 1, yd = (b.l - 1) / kuai + 1;
	if(xd ^ yd) return xd<yd;
	if(xd & 1) return a.r < b.r;
	return a.r > b.r;
}