[数据结构] 树状数组

前言

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lowbit操作

对于$lowbit$的定义为"非负整数$n$在二进制表示下最低位的1及其后面所有的0"所构成的数值，例如：当$n=12$时，$12=(1100{)}_2$,所以$lowbit(12)=(100{)}_2=4$

那么如何实现$lowbit$操作呢？

先将n取反，此时第k为变为1，第0~k-1位变为1，再令n=n+1,此时第k为1,0 ~ k-1为0。

进行完上面的操作后，n的第$k+1$位恰好与原来相反所以$n\&(n+1)$仅有第k位为1。

因此：$lowbit(n)=n\&(n+1)=n\&(-n)$

听完概念，来举个例子：

对于整数12，它的二进制表示为$12=(1100{)}_2$,将它取反变为$(0011{)}_2$,加1变为$(0100{)}_2$,可以观察到此时的二进制数为$(0100{)}_2$，与原数$(1100{)}_2$相比，恰好在$(1100{)}_2$最低位的为1。

树状数组的概念与性质

设想一下，在对一个较大的连续线性范围进行统计时，我们可以基于上述思想将它进行拆分。

将n拆分为：$n=2^{p_1}+2^{p_2}+...+2^{p_m}$

其中$p_1<p_2<p_3<...<p_m$，

所以我们可以将此区间分为

$1.长度为p_1的区间[1,2^{p_1}]$

$2.长度为p_2的区间[2^{p_2}+1,2^{p_1}+2^{p_2}]$

…………

$m.长度为2^{p_m}的区间[2^{p_1}+2^{p_2}+...2^{p_{m-1}}+1,2^{p_1}+2^{p_2}+...+2^{p_m}]$

如何找到这些区间呢？

就用到我们上面讲的lowbit操作了。

好了，一个新的数据结构就产生了，树状数组便是基于上述思想的一种数据结构，基本用于维护序列的前缀和(当然也有进阶操作)，给你一个序列a，建立一个数组t，其中t[x]保存序列a中的区间，$[x-lowbit(x)+1,x]$中所有数的和。

图中最下面是序列的每个叶节点，代表$a[1，n]$

该数据结构满足以下性质

1.数组t[x]保存以它为根的子树中所有叶节点的值的和。

2.每个节点t[x]的子节点个数为$lowbit(x)$的位数。

3.除树根外，每个节点t[x]的父节点是$t[x+lowbit(x)]$。

4.树的深度为$O(logn)$

基本运用

树状数组基本支持两个操作：

单点修改

对于任意一个节点x，其祖先最多有$logn$个，我们在修改时逐一修改祖先即可。

void add(int x,int y)
{
	for(;x<=n;x+=lowbit(x)) t[x]+=y;
}

区间查询

在查询时按上面方法分为$logn$个小区间

int ask(int x)
{
	int ans=0;
	for(;x>=1;x+=lowbit(x)) ans+=t[x];
	return x;
}

若要查询区间$[l,r]$所有数的和，需计算$ask(r)-ask(l-1)$

以上两种操作复杂度皆为$O(\log n)$的

扩展运用

了解了树状数组的基本运用，来看一道 变式题

简单来说就是将树状数组所擅长的"单点修改，区间查询"变为了"区间修改，单点查询"

对于这两条指令，我们仔细想一想怎样把这样的问题转化为树状数组所擅长的？

新建一个数组b，对于每次$[l,r]$的加上$d$的操作，转化为在$a[l]$上加上$d$,在$b[r+1]$上减去$d$

此时观察b 数组的前缀和，如图所示：

可以发现，对于数组b的前缀和，他在$[l,r]$区间执行了加上$d$的操作。运用这样的方法即可将此题转化为树状数组。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=500086;
int n,m,a[MAXN],b[MAXN];
int lowbit(int k)
{
    return k & -k;
}
void add(int x,int k)
{
    while(x<=n)
    {
        b[x]+=k;
        x+=lowbit(x);
    }
}
int sum(int x)
{
    int ans=0;
    while(x!=0)
    {
        ans+=b[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}
int main()
{
	freopen("tree.in","r",stdin);
	freopen("tree.out","w",stdout);
  	scanf("%d%d",&n,&m);
  	for(int i=1;i<=n;i++)
  	{
  		scanf("%d",&a[i]);	
	}
	memset(b,0,sizeof(0));
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int o;
		scanf("%d",&o);
		if(o==1)
		{
			int l,r,k;
			scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
			add(l,k);
			add(r+1,-k);
		}
		else {
			int j;
			scanf("%d",&j);
			printf("%d\n",a[j]+sum(j));
		}
	}
    return 0;
}