17、分布式线性二次控制与相关系统控制策略

分布式线性二次控制与相关系统控制策略

1. 离散时间半稳定与矩阵方程求解

在离散时间系统中，若 ˜A 是离散时间半稳定的，则存在一个 n × n 的正定矩阵 ˆP 满足特定方程。具体来说，vec ˆP = (˜A ⊗˜A)Tvec ˆP + vec((Inq −˜A)k)T ˜R(Inq −˜A)k，即 [In2q2 −(˜A ⊗˜A)T]vec ˆP = vec((Inq −˜A)k)T ˜R(Inq −˜A)k。这表明 vec((Inq −˜A)k)T ˜R(Inq −˜A)k 属于 R(In2q2 −(˜A ⊗˜A)T)。

根据引理可知 ˜A ⊗˜A 是离散时间半稳定的，进而可以推导出：
[
\begin{align }
\hat{P}&=\sum_{i = 0}^{\infty}(\tilde{A}^i)^T((I_{nq}-\tilde{A})k)^T \tilde{R}(I_{nq}-\tilde{A})k \tilde{A}^i + \text{vec}^{-1}(z)\
\end{align }
]
其中 z 满足 z ∈N[In2q2 −(˜A ⊗˜A)T] 且 vec−1(z) = (vec−1(z))T ≥0。由于 (˜A ⊗˜A)T 是离散时间半稳定的，所以 In2q2 −(˜A ⊗˜A)T 也是离散时间半稳定的。方程 (˜A ⊗˜A)Tz = z 的通解为 z = λx ⊗x，其中 x ∈N(Inq −˜AT) 且 λ ∈ℜ，vec−1(z) = αxxT，α > 0。

1.1 控制设计

考虑离散时间线性动态系统，假设 (˜A, ˜R) 对于非负定