二分图匹配的扩展问题

/**

    前面提到了匈牙利算法解决二分图匹配问题，但是基于二分图还有几个经常
    见的扩展问题如下：
        1、最大独立集点数
        2、最小顶点覆盖数
        3、最小路径覆盖数
    **********************************************************************
    最大独立集点数：

        有5个同学，小明，小强，小壮，小雨，小丽，现在要做游戏，可是小雨
    小丽都不喜欢小明，问最多能挑出多少学生使他们在一起玩？？？

    显然答案为4，直接把小明赶走即可，因为如果小明在，小雨和小丽两个女女
    就不干了。。

    *最大独立集点数 = N - 最大匹配数

    如下建图

       小雨 * * *小明
              *
       小丽 *    小强

                 小壮
    最大匹配为 1，有 5 个点，所以最大独立集点数为 5 - 1 = 4；
    **********************************************************************

    最小顶点覆盖数：
        即在二分图中用最少的点关联所有的边，如上图：最小顶点覆盖数为 1
    即小明一个人就关联了仅存的两条边。。

    最小顶点覆盖数 = 最大匹配数

    Konig定理：二分图的最小顶点覆盖数等于最大匹配数。
    网上有关于这个定理的证明。。。

    后面还会遇到树的最小支配集，即最少的点关联所有的点或边。。。
    树的最小支配集用贪心和树形DP 解决，后面会提到
    **********************************************************************

    最小路径覆盖
        路径覆盖就是在*无环有向图*中找一些路径，使之覆盖了图中所有顶点，且
    任何一个顶点有且只有一条路径与之关联。

    最小路径覆盖 = N - 最大匹配数

    **********************************************************************

        二分图匹配和网络流一样，都在于建图，应该说几乎所有的图论题都在于建图
    建图的技巧和难度，决定了这道题的质量和难度，所以会套模板是基础，建图才是
    王道……

    注意：上面3个只适用于有向无环图，当为无向图时可以通过拆点转换为无向图，但
    算出的最大匹配得除二。。 但不能有环

    拆点：N个点 则把 X 点拆成 2N+X 则 2N+X 完全等价X 去添边，即无向边ab，
    可拆成 a->2N+b b->2N+a。。用匈牙利算法算出最大匹配除二即为匹配

*/

收藏于 2011-11-23
来自于百度空间