24、周期图与频谱估计：原理、应用与实现

周期图与频谱估计：原理、应用与实现

1. 周期图与频率估计基础

当 $P$ 大于 1 时，要使函数 $K(h, \cdots, jp)$ 相对于频率 $h, \cdots, jp$ 达到最大值是很困难的。无论是在实情况（表达式 8.22）还是复情况（表达式 8.28）下，因为它是一个多变量函数，通常有多个局部最大值。然而，如果频率之间的差异大于 $2/N$，通过确定周期图的 $P$ 个最大值来估计频率是一种相当有效的方法。这将多变量最大化问题转化为单变量最大化问题，计算变得简单许多。

以 $P = 2$ 为例，函数 $K(h, h)$ 的表达式如下：
矩阵 $E$ 为：
[
E =
\begin{bmatrix}
e^{-2j\pi j_1} & e^{-2j\pi j_2} \
e^{-2j\pi (N - 1)j_1} & e^{-2j\pi (N - 1)j_2}
\end{bmatrix}
]
则 $E^H E$ 为：
[
E^H E = N
\begin{bmatrix}
1 & P_N(j_2 - j_1) \
P_N^ (j_2 - j_1) & 1
\end{bmatrix}
]
其中：
[
P_N(f) = e^{j\pi f(N - 1)} \frac{\sin(\pi N f)}{N \sin(\pi f)}
]
将其代入表达式 8.28 可得：
[
\frac{1}{N}
\begin{bmatri