22、随机过程与功率谱密度估计

随机过程与功率谱密度估计

在信号处理领域，随机过程和功率谱密度（PSD）的估计是非常重要的内容。下面将详细介绍相关的概念、方法以及对应的MATLAB代码实现。

1. ARMA (P, Q) 过程

ARMA（自回归滑动平均）过程结合了自回归（AR）结构和滑动平均（MA）结构。其递归方程为：
[X(n) + a_1X(n - 1) + \cdots + a_pX(n - P) = W(n) + b_1 W(n - 1) + \cdots + b_Q W(n - Q)]
其中，(W(n)) 是二阶平稳、零均值、方差为 (\sigma^2) 的白噪声随机过程，({a_1, \cdots, a_p}) 和 ({b_1, \cdots, b_Q}) 是系数序列。

当且仅当传递函数 (H_z(z)) 的分母的根（即极点）的模不等于 1 时，上述方程有唯一的二阶平稳解 (X(n))。若对于 (|z| \leq 1) 有 (A(z) \neq 0)，则 (H_z(z)) 的极点严格位于单位圆内，此时 (X(n)) 可以因果地表示为 (W(n)) 的函数。

ARMA (P, Q) 过程的谱可以通过公式计算，因为 ARMA 过程可以看作是输入为功率谱密度为 (\sigma^2) 的白噪声的滤波器的输出。

使用 ARMA 过程作为描述观测的模型，意味着假设其谱是一个有理函数。从工程师的角度来看，该模型具有“通用性”，因为有理传递函数可以近似大量的函数，并且在电气、电子甚至机械装置中经常通过常系数线性递归方程发挥作用。此外，任何 ARMA 或 MA 过程都可以用足够高阶的 AR 过程来近似。不过，估计 MA 模型的系数通常并不简单，因为模型系数与