20、随机过程分析与协方差估计

随机过程分析与协方差估计

1. 平稳随机过程的采样

考虑一个实值、零均值的平稳随机过程 (X(t))，其功率谱密度（PSD）与自协方差函数 (R(\tau) = E{X(t + \tau)X(t)}) 相关。假设 (X(t)) 是 (B) 带限的，即当 (|F| > B) 时，(S(F) = 0)。

当以频率 (F_s = 1/T_s) 对信号 (X(t)) 进行采样时，采样值记为 (X_s(n) = X(nT_s))。若 (F_s \geq 2B)，则可以根据确定性情况下证明的重构公式（7.23）从采样值以均方意义下重构该过程；若 (F_s < 2B)，由于混叠现象，完美重构是不可能的。

在对连续时间平稳随机过程进行采样时，为避免混叠，在频率 (F_s) 进行采样操作之前，必须进行抗混叠滤波，该滤波器在 ((-F_s / 2, F_s / 2)) 频段的增益为 1。

连续时间随机过程 (X(t)) 的 PSD (S(F)) 与采样后的随机过程 (X_s(n)) 的 PSD (S_s(f)) 之间的关系如下：
- 由 (S_s(f)) 得到 (S(F))：
- 幅度乘以 (1/F_s)；
- 频率轴乘以 (F_s)；
- 将频段限制在 ((-B, B)) 区间。
- 由 (S(F)) 得到 (S_s(f))：
- 幅度乘以 (F_s)；
- 频率轴除以 (F_s)；
- 以周期 1 进行周期化。

下面的表格总结了两者之间的转换关系：
|转换方向|幅度操作|频率轴操作|频段操作|
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