41、正态分布理论与复正态分布解析

正态分布理论与复正态分布解析

1. 正态分布理论

1.1 随机矩阵的分解与分布

随机矩阵 (X = \Lambda^{1/2}U \sim N_{L\times N}(0, I_N \otimes \Lambda)) 有两种分解方式：
- 按 (N) 分解 ：(N = N_f + N_g)，则 (X = \begin{bmatrix}F & G\end{bmatrix})，其中 (F \sim N_{L\times N_f}(0, I_{N_f} \otimes \Lambda)) 且 (G \sim N_{L\times N_g}(0, I_{N_g} \otimes \Lambda))，(N_f, N_g \geq L)。
- 按 (L) 分解 ：(L = L_y + L_z)，则 (X = \begin{bmatrix}Y \ Z\end{bmatrix})，其中 (Y \sim N_{L_y\times N}(0, \Lambda_{yy}))，(Z \sim N_{L_z\times N}(0, \Lambda_{zz}))，且 (\Lambda = \text{blkdiag}(\Lambda_{yy}, \Lambda_{zz}))。

矩阵值球对称实验的重要结论总结如下：
|条件|结论|
| ---- | ---- |
| (X \sim N_{L\times N}(0, I_N \otimes \Lambda)) 且 (P_p) 与 (X) 独立| (\Lambda^{-1/2}XX^T\Lambda^{-T/2} \sim W