27、子空间平均：理论与应用

子空间平均：理论与应用

在许多领域，如统计信号处理、模式识别、计算机视觉和机器学习中，高维数据往往呈现出低维结构，这种结构可以通过子空间表示来揭示。本文将深入探讨子空间平均的相关理论，包括子空间的分布、主角度、相干性、距离度量、子空间平均方法以及阶数估计等内容。

1. 子空间分布

子空间的分布具有单峰性，其均值为 (E[P] = U \text{diag}(\alpha)U^T)，期望维度 (E[\text{tr}(P)] = 5/4)。当从分布 (P \sim D(U, \alpha)) 中进行 (R) 次抽样时，投影的样本平均值 (P = \frac{1}{R}\sum_{r = 1}^{R}P_r) 的特征值 (k_i) 会随着 (R) 的增大而收敛到 (\alpha_i)。在这个例子中，抽取一维子空间的概率为 (33/64)。

2. 主角度、相干性和子空间之间的距离

2.1 主角度

为了衡量两个子空间 (\langle V\rangle\in Gr(p, \mathbb{R}^n)) 和 (\langle U\rangle\in Gr(q, \mathbb{R}^n)) 之间的距离，我们引入主角度的概念。设 (V) 是一个 (n\times p) 的矩阵，其列构成 (\langle V\rangle) 的正交基，即 (V^T V = I_p)，(P_V = VV^T) 是到 (\langle V\rangle) 的幂等正交投影。类似地，定义 (U) 和 (P_U) 用于子空间 (\langle U\rangle)。

主角度 (\theta_1, \ldots, \theta_q \in [0, \pi/2