12、相干性、经典相关性及其不变性

相干性、经典相关性及其不变性

奇异值分解（SVD）的优点

奇异值分解（SVD）在处理矩阵时具有显著优势，具体如下：
1. 无需形成矩阵 (XX^H) ：避免了矩阵乘法的计算，减少了计算量。
2. 提取子空间 ：对于任意 (r = 1, 2, \cdots, L)，SVD (X = FKG^H) 能够提取子空间 (\langle F_r \rangle)。
3. 提取坐标 ：SVD 可以直接提取 (X) 在子空间 (\langle F_r \rangle) 中的坐标为 (K_rG^H)，而无需计算 (F_r^HX)。
4. 指导 (r) 的选择 ：(\sum_{l=r + 1}^{L} k_l^2) 可以指导 (r) 的选择。

误差加权的推广

误差可以定义为 (E = \sum_{n = 1}^{N} (x_n - \hat{x} n)^H W^{-1} (x_n - \hat{x}_n))，其中 (W) 是一个非奇异的埃尔米特矩阵。该式可改写为 (E = \sum {n = 1}^{N} (W^{-1/2} x_n - W^{-1/2} \hat{x}_n)^H (W^{-1/2} x_n - W^{-1/2} \hat{x}_n))。

解决方案是选择估计器 (W^{-1/2} \hat{X} r = P {V_r} W^{-1/2} X)，即 (\hat{X} r = W^{1/2} P {V_r}