11、相干性、经典相关性及其不变性

相干性、经典相关性及其不变性

1. 循环情况

假设协方差矩阵 $R_{uu}$、$R_{uv}$ 和 $R_{vv}$ 是循环矩阵，在这种情况下，每个矩阵都有如下形式的谱表示：$R_{uv} = V_ND_{uv}V_N^H$，其中 $V_N = F_N/\sqrt{N}$，$F_N$ 是 $N×N$ 的离散傅里叶变换（DFT）矩阵，$D_{uv}$ 是谱系数的对角矩阵：$D_{uv} = diag(S_{uv}(e^{j\theta_0}), \cdots, S_{uv}(e^{j\theta_{N - 1}}))$。那么相干矩阵为：
$C = V_ND_{uu}^{-1/2}D_{uv}D_{vv}^{-1/2}V_N^H = V_N diag(\rho_{uv}(e^{j\theta_0}), \cdots, \rho_{uv}(e^{j\theta_{N - 1}}))V_N^H$
其中，$\rho_{uv}(e^{j\theta_k}) = \frac{S_{uv}(e^{j\theta_k})}{\sqrt{S_{uu}(e^{j\theta_k}) S_{vv}(e^{j\theta_k})}}$。

对角矩阵中的每一项 $\rho_{uv}(e^{j\theta_k})$ 是频率 $\theta_k = 2\pi k/N$ 处的谱相干性，可以通过 $V_N^H CV_N$ 来求解。所以，在循环情况下，$C$ 的奇异值分解（SVD）为 $C = FKG^H$，其中 $F = G = V_N$，$K$ 是谱相干性的对角矩阵。此外，每个谱相干性还可以写成：
$\rho_{uv}(e^{j\theta_k}) = \frac{f^H(e^{j\theta_k})R