最小二乘法的矩阵推导

最新推荐文章于 2025-03-18 09:50:28 发布
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顾名思义，从数学意义推导最小二乘法公式：

一，解释

最小二乘法本质是寻找一组x，使Ax与b距离最近。写成二范数的形式为：

         

最合适的x一般出现在函数的极值点，也就是导数为0的点，所以为求导计算方便，我们用二范数的平方作为计算公式：

          

补充知识：设下列向量条件

 

（1）二范数

（2）标量对列向量求导

                

      证明过程：

     另一个同理可证。

（3）特殊标量对列向量求导

  证明过程：

二，推导过程

因为

最小二乘法所需要的极小值点一般会出现在偏导为0的地方，所以

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1 前期准备 为了方便表述，我们先做一些很简单的定义： 假设有一多项式函数： f(x1,x2,⋯ ,xm)=∑i=1maixi f( x_1,x_2,\cdots ,x_m) =\sum_{i=1}^m{a_ix_i} f(x1​,x2​,⋯,xm​)=i=1∑m​ai​xi​ 我们将函数中的自变量都提取出来组成一个列向量xxx： x=[x1,x2,⋯ ,xm]T x=[x_1,x_2,\cdots,x_m]^T x=[x1​,x2​,⋯,xm​]T 则称xxx为一个向量变元。 如[1,2]T[1,2]^T
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最小二乘法推导
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<think>好的，我现在需要帮助用户理解最小二乘法的数学推导过程。首先，我得回顾一下用户提供的引用资料，确保我的回答准确且符合他们提到的内容。用户引用了三篇关于最小二乘法的文章，其中提到了误差分析、最大似然估计、高斯分布以及最小二乘法的原理和推导过程。 首先，我应该从问题背景开始，解释什么是最小二乘法和它的应用场景，尤其是在线性回归中的应用。然后，按照用户提供的引用内容，特别是引用[3]中提到的误差分析和高斯分布的部分，可能需要从概率的角度出发，使用最大似然估计来推导最小二乘法。 接下来，我需要分步骤来推导。可能需要先建立线性回归模型，假设误差服从正态分布，然后写出似然函数，再通过对数转换将乘积转化为求和，最后通过求导找到最小化误差平方和的解，即正规方程。这过程中需要确保数学符号的正确性，比如使用$y = X\beta + \epsilon$这样的矩阵形式，并正确应用LaTeX格式。 同时，用户要求生成相关问题，我需要根据内容提出几个相关的问题，例如最小二乘法与极大似然估计的关系，或者如何处理多重共线性问题。这些问题应该能够帮助用户进一步深入学习。 需要注意用户提到的系统级指令，特别是数学表达式必须用$...$或$$...$$格式，中文回答，以及引用标识的正确添加。例如，在解释误差的高斯分布时，需要引用[^3]，而在讨论最小二乘法的优化目标时引用[^2]。 还需要检查LaTeX语法是否正确，比如积分符号、上下标、矩阵表示等是否正确。例如，矩阵转置符号应该是$X^T$，求导后的方程应该是$\frac{\partial L}{\partial \beta} = -2X^T(y - X\beta) = 0$，确保这些公式正确无误。 最后，确保回答结构清晰，分步骤讲解推导过程，并在末尾自然地列出相关问题。同时，引用标识要对应到正确的参考文献，避免混淆。</think>### 最小二乘法的数学推导过程 #### 一、问题背景 最小二乘法是机器学习中用于线性回归参数估计的核心方法，其目标是通过最小化预测值与真实值之间的误差平方和，找到最优模型参数[^1]。 #### 二、推导步骤 1. **建立线性模型** 假设有数据集$(X,y)$，线性回归模型表示为： $$ y = X\beta + \epsilon $$ 其中$X$是$n \times m$特征矩阵，$\beta$是参数向量，$\epsilon$是误差项。 2. **误差分布假设** 假设误差$\epsilon_i$服从独立同分布的高斯分布： $$ \epsilon_i \sim N(0, \sigma^2) $$ 这等价于概率密度函数： $$ p(\epsilon_i) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{\epsilon_i^2}{2\sigma^2}} $$ 3. **构建似然函数** 通过最大似然估计，联合概率密度可表示为： $$ L(\beta) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(y_i - X_i\beta)^2}{2\sigma^2}} $$ 4. **对数似然转换** 取对数将乘积转为求和： $$ \ln L(\beta) = -\frac{n}{2}\ln(2\pi\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(y_i - X_i\beta)^2 $$ 5. **优化目标函数** 最大化对数似然等价于最小化： $$ \min_\beta \sum_{i=1}^n(y_i - X_i\beta)^2 $$ 写成矩阵形式即： $$ \min_\beta \|y - X\beta\|^2 $$ 6. **求解参数$\beta$** 展开目标函数： $$ L = (y - X\beta)^T(y - X\beta) $$ 对$\beta$求导并令导数为零： $$ \frac{\partial L}{\partial \beta} = -2X^T(y - X\beta) = 0 $$ 得到正规方程： $$ X^TX\beta = X^Ty $$ 最终解为： $$ \hat{\beta} = (X^TX)^{-1}X^Ty $$ #### 三、核心思想 通过最小化误差平方和，最小二乘法找到了数据在特征空间中的最佳线性拟合。当$X^TX$可逆时，该解具有闭合表达式，这也是其被广泛应用的重要原因。
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