z135733的博客

上一篇文章我们介绍了树状数组这个数据结构，并且进行了其原理的数学推导，这篇文章基于上一篇文章，来讲一下这个数据结构在算法题中的应用

树状数组（Binary Indexed Tree，BIT）是一种数据结构，用于高效地处理数组的动态查询和更新操作。它可以在O(log n)的时间复杂度内完成单点更新和前缀和查询操作。树状数组常用于解决数组频繁更新和查询前缀和的问题，比如求解**逆序对、区间和**等。

已知：a % gcd(a,b) == 0，b % gcd(a,b) == 0；已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式。在一个集合中，对于某种运算，如果对于任何的集合元素a和元素e运算，得到还是集合元素a本身，就称e为这个运算下的单位元。因此 方程 ax + by = c 有解的充要条件是 c % gcd(a,b) == 0。则 ax % gcd(a,b) == 0，by % gcd(a,b) == 0。

其实就是看k的二进制表示里面，哪些位是1，把1对应的这些位对应的数乘起来就可以了。可以表示为前面分解的这些数的某些数的乘积。也就是说，后一个数都是前一个数的平方。，对于每组数据，求出。（利用k的二进制表示）

欧拉函数的定义、公式及其推导、C++代码

高精度加法、高精度减法、高精度乘法、高精度除法的思路与代码

有最朴素的筛法和线性筛法。最朴素的筛法是依次遍历每个数，如果该数不是合数，则将其加入素数列表中。线性筛法则是在遍历每个数的同时，将其倍数标记为合数，从而减少后续遍历的次数，提高效率。

分解质因数是指将一个合数用质因数相乘的形式表示出来，即将一个合数分解为若干个质数的乘积。其中每个质数都是这个合数的因数。例如，将30分解质因数，得到2×3×5，即将30表示为2、3、5三个质数的乘积。分解质因数只针对合数，对于质数和1，不需要进行分解质因数。

迷宫问题是一道经典的算法问题，旨在寻找一条从起点到终点的最短路径。通常迷宫由一个二维矩阵表示，其中0代表可通过的空地，1代表墙壁不可通过。在此条件下，需要运用数据结构中的图算法如广度优先搜索（BFS）或深度优先搜索（DFS）等找出一条从起点到终点的最短路径。例如，以下就是一个迷宫：（其中1表示墙壁不可通过，0表示可以通过的路径。起点为(1,1)，终点为(15,15)）迷宫问题是求解从起点到终点的路径，使得路径能够遍历迷宫所有有效格子的问题。这个问题在计算机科学中被广泛研究，有很多种算法可以解决。

队是一种特殊的线性表，它只允许在一端进行插入，在另一端进行删除，允许插入的一端称为队尾，通常用一个队尾指示器指向队尾元素；允许删除的一端称为排头，用一个排头指示器指向排头元素。在队列中，最先插入的元素将最先删除，因此又称队为先进先出线性表。n个人围坐在圆桌周围，从某个人开始编号为1，2，3，4,…,n，编号为1的位置上的人从1开始报数，数到m的人出列，从下一个人又从1开始报数，数到m的人便是第二个出列的人。如此重复下去，直到最后一个人出列为止。

在计算过程中，每个节点的PageRank值将从与之关联的所有入站节点（即指向该节点的节点）中收集来，这些入站节点的PageRank值将按其相邻边的等分比例进行计算。最终，PageRank值被视为每个节点的相对权重，用于搜索引擎的排名。具体而言，当有很多页面都指向同一个页面时，该页面将被认为是更重要（更受欢迎）的页面，从而获得更高的权重。总之，PageRank算法主要是通过评估网页的入站链接的数量和质量，以及这些链接指向哪些页面来确定页面的相对重要性，并据此进行搜索引擎的排名。

因为brainfuck语言中操作数据数组的指令非常多，需要经常更改cur的指向，这些指令包括“I”（指针加1）、“D”（指针减1）等等。Brainfuck的源代码是由一系列的指令组成的，这些指令可以操作一个数组，也可以输出或输入数据。在BFState这个结构体中，array指向数据数组的首地址，cur表示当前指向的位置。根据读入的源代码，使用 switch-case 语句实现 Brainfuck 的 8 个指令，包括：+，-，>，

KMP算法是一种改进的字符串匹配算法，由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt提出的，因此人们称它为克努特—莫里斯—普拉特操作（简称KMP算法）。KMP算法的核心是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是通过一个next()函数实现，函数本身包含了模式串的局部匹配信息。KMP算法的时间复杂度O(m+n)文字来源：百度百科。

对于一个数组a，某一个数的前缀和表示这个数以及前面所有数的和对于数组a1,a2,……,an存在一个数组b1,b2,……,bn使得b1= a1, bi= a1+…+ai= ai+bi-1差分是在前缀和的基础上定义的，是前缀和的逆运算对于一个数组b1,b2,……,bn设其前缀和组成的数组为a1,a2,……,an即①a1= b1;②a2= b1+b2;③a3= b1+b2+b3……则称数组a的差分是数组b。

贪心策略能解决的问题，往往可以分解为若干个子问题，并且每个子问题的最优解都可以使得总的解最优。相比DFS，贪心策略不需要穷举更多的可能，而是拥有了推知未来的能力，照某一个方案选择每一个子问题一定可以得到答案。贪心也可以理解为“最优子结构。

从逐步生成、递归，到深搜（DFS）结合多个例题，全方位无死角的搞定深搜！